Beautiful Sequence

Posted 2020-12-29 mynameispc

Beautiful Sequence

给定一些数（可能相同），将它们随机打乱后构成凹函数，求概率 。N<=60 。

首先，这种题求概率事实上就是求方案。所以现在要求的是用这些数构成凹函数的方案数。

依稀记得上次的一道考试题，只是把凹函数变成了一个具有特殊性质的单调序列而已。这道题也是一样，由于它不关心数的位置，所以把数排序以后，可以统计把当前数插入凹函数的方案。

exp1:与数的位置无关的计数题可以考虑排序。

用(f[i][j][k][l])表示凹函数最左边的两个点，最右边的两个点。那么新来的一个点要么在最左边，要么在最右边，转移即可。

有人可能会问：怎么维持转移顺序啊。没关系，我们钦定i是最高的点。那么我们可以把第二个转移方程写成(f[i][j][k][l]->f[i][j][l][i+1]=f[i+1][l][j][i])就行了。是不是很妙。

exp2:对于某些状态具有对称性的题，可以考虑把状态的某一维钦定成按顺序转移的维度。这样就好dp了。

#include <cstdio> 
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=62, mod=1e9+7;
int n, b[maxn], a[maxn], m, ans, c;
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];

bool ok(int x, int y, int z){ return 2*a[y]<=a[x]+a[z]; }
void up(int &x, int y){ x+=y; if (x>mod) x-=mod; }

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
    sort(b+1, b+n+1); ++c;
    for (int i=2; i<=n; ++i) if (b[i]==b[1]) ++c; else break;
    for (int i=c; i<=n; ++i) a[++m]=b[i]; n=m;
    f[1][1][1][1]=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    for (int j=1; j<=n; ++j)
    for (int k=1; k<=n; ++k)
    for (int l=1; l<=n; ++l){
        if (ok(i+1, i, j)) up(f[i+1][i][k][l], f[i][j][k][l]);
        if (ok(i+1, l, k)) up(f[i+1][l][j][i], f[i][j][k][l]);
        if (i==n||l==n) up(ans, f[i][j][k][l]);
    }
    for (int i=1; i<=c; ++i)
        ans=(long long)ans*i%mod;
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}