浅谈线性基

Posted 2020-12-28 ljc20020730

几个概念或引理

概念1：数集的异或和：定义一个无符号整数集合S（注意，我们接下来讨论的集合均指由无符号整数为元素构成的集合），则S的异或和就是S中所有元素互相异或的结果.

概念2：张成：子集Ti ⊆  S且子集Ti异或和组成的集合K就是数集S的张成，记做K=span(S)就可以理解为S中取任意多个元素异或运算获得的值组成的集合就是S的张成K。

概念3：线性相关和线性无关：

线性相关： 设元素x∈S，数集去除元素x后的数集为S’，且满足x∈span(S’)即 span(S)=span(S’)，就可以理解为去除x元素后集合S对于异或运算获得值组成的集合没有变化，也可以这么说——x可由S中的其它某些元素互相异或得来。这样的元素x就称x与S线性相关。

线性无关:不满足线性相关的元素x，就称x与S线性无关。

概念4：线性基：设集合B是集合S的线性基，当且仅当满足如下条件

1. B是span(S)的子集，就是说B必须是S张成中任意数组成的集合
2. B中的任意元素x与S是线性无关的，也就是说，B中所有元素均可由S中的某些元素互相异或得来

引理1：基于概念4，通过推理可知线性基是对于xor运算表示S集合的最小表示方法，是缺一不可的，所以，一个集合的线性基是可以表示集合S xor 运算组成值得最小的集合。

引理2：异或运算的自反性：即a xor b=c ↔ a=b xor c; b=a xor c;

       异或运算的交换律：即a xor b=c ↔b xor a=c;

       异或运算的结合律：即a xor b xor c ↔ a xor  (b xor c)

其他1：构造线性基时为了处理方便(减小时间复杂度)，在线性基集合中满足单调性（增）

 

贪心算法构造线性基

设线性基集合B是S集合的线性基；

每次插入元素x，从B集合高位到低位扫；（从大到小，使元素越异或越小）

设目前线性基到元素编号为i，B[i]有两种情况==0或非0，分别考虑：

B[i]!=0：x^=B[i]（证明一下：设原来的数为x，异或B[i]后的值为x’，有x’=x ^ B[i],由引理2可知x= x’ ^ B[i]，也就是说元素x可以从x’和B[i]两个元素构造而来，也可以称作对元素x进行xor运算的一种拆分）

B[i]==0：先把B[i]=x;对高位进行遍历B[j]^=B[i] {j>i}（目的是把高位B[j]消到最小）,

同时B[i]^=B[j] {0≤j<i} （目的是把B[i]消到最小）

操作后显然保证线性基B[i]是单调(增)。