[TopCoder12141]SweetFruits

Posted 2020-12-28 zhoushuyu

vjudge

description

有(n)个水果，有一些水果是香的，它们各有一个香度值，剩下的水果是不香的。
现在你要把这(n)个水果连成一棵树，定义一个水果是真香的当且仅当它是香的且他与一个香的水果相邻。定义一棵树的香度为这棵树上真香的水果的香度值之和。
求满足香度不超过某个给定值的树的个数模(10^9+7)。
(nle40)

sol

设香的水果一共有(m)个。对于(kin[0,m])，求出有(k)个水果真香且满足最大香度限制的方案数（先不考虑连边）。这个显然可以(mbox{meet in the middle})一波。
然后要解决的问题就只跟(k)有关了：对于(kin[0,m])，我们需要求出满足(k)个水果真香的连边方案数。
这时候所有水果就可以分为三类：(k)个真香的水果，(m-k)个香但不真香的水果，以及(n-m)个不香的水果。
考虑连边。真香的水果可以与自己连边，也可以与不香的水果连边；香但不真香的水果只能和不香的水果连边（不然它也就真香了）；不香的水果可以和真香以及香但不真香的水果连边，也可以自己连边。
然后就只要上矩阵树就可以了。考虑到这样求出来的结果是至多(k)个水果真香的答案（因为可能有些你认为是真香的水果并没有和一个香的水果连边），所以再容斥一下就好了。
复杂度(O(2^{frac n2}n+n^4))

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int gi(){
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
const int N = 50;
const int mod = 1e9+7;
int n,m,s[N],V,a[N][N],C[N][N],ans[N],Ans;
vector<int>v1[N],v2[N];
int fastpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
    return res;
}
int calc(int x,int y){
    if (x>m/2||y>m-m/2) return 0;int res=0;
    for (int i=0,j=v2[y].size()-1,sz=v1[x].size();i<sz;++i){
        while (j&&v1[x][i]+v2[y][j]>V) --j;
        if (v1[x][i]+v2[y][j]>V) break;res=(res+j+1)%mod;
    }
    return res;
}
void link(int u,int v){++a[v][v];--a[u][v];}
int gauss(){
    for (int i=0;i<n;++i)
        for (int j=0;j<n;++j)
            a[i][j]=(a[i][j]+mod)%mod;
    int res=1;
    for (int i=1;i<n;++i){
        if (!a[i][i]){
            int r=i;
            for (int j=i+1;j<n;++j) if (a[j][i]>a[r][i]) r=j;
            swap(a[r],a[i]);res=mod-res;
        }
        for (int j=i+1;j<n;++j){
            int x=1ll*a[j][i]*fastpow(a[i][i],mod-2)%mod;
            for (int k=i;k<n;++k) a[j][k]=(a[j][k]-1ll*x*a[i][k]%mod+mod)%mod;
        }
        res=1ll*res*a[i][i]%mod;
    }
    return res;
}
int work(){
    for (int i=0;i<n;++i) if (~s[i]) s[m++]=s[i];
    for (int i=0;i<(1<<m/2);++i){
        int x=0,y=0;
        for (int j=0;j<m/2;++j)
            if (i&(1<<j)) ++x,y+=s[j];
        v1[x].push_back(y);
    }
    for (int i=0;i<(1<<m-m/2);++i){
        int x=0,y=0;
        for (int j=0;j<m-m/2;++j)
            if (i&(1<<j)) ++x,y+=s[j+m/2];
        v2[x].push_back(y);
    }
    for (int i=0;i<=m/2;++i) sort(v1[i].begin(),v1[i].end());
    for (int i=0;i<m-m/2;++i) sort(v2[i].begin(),v2[i].end());
    C[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        C[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
    for (int k=0;k<=m;++k){
        int way=0;for (int i=0;i<=k;++i) way=(way+calc(i,k-i))%mod;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=0;i<k;++i){
            for (int j=0;j<k;++j) link(i,j);
            for (int j=m;j<n;++j) link(i,j);
        }
        for (int i=k;i<m;++i)
            for (int j=m;j<n;++j) link(i,j);
        for (int i=m;i<n;++i)
            for (int j=0;j<n;++j) link(i,j);
        ans[k]=gauss();
        for (int i=0;i<k;++i) ans[k]=(ans[k]-1ll*ans[i]*C[k][i]%mod+mod)%mod;
        Ans=(Ans+1ll*ans[k]*way)%mod;
    }
    return Ans;
}
class SweetFruits{
public:
    int countTrees(vector<int>ss,int _V){
        n=ss.size();V=_V;
        for (int i=0;i<n;++i) s[i]=ss[i];
        return work();
    }
};