几种简单的求素数算法的复杂度分析

Posted 2020-12-28

    素数的算法有很多种，现在主要讲两种算法及其改进版本的复杂度分析，解释性能提升的幅度。现以求100000内素数为例，两种算法分别是：
    　　１．基础思路是去掉偶数，包括取模的范围，代码如下：
        　　　print(2)

　　　　　for i in range(3,100000,2):
　　　　　 for a in range(3,int(i*0.5)+1,2):
　　　　　　 if i%a == 0:
　　　　　　　break
　　　　　　　else:
　　　　　　　　 print(i,end = ‘ ‘)
此两层循环的算法的复杂度为0.5n((n**0.5+1)/2)

        　　２．应用一个素数定理：大于６的素数一定与６的倍数相邻，代码如下：
            　　print(2,3,end = ‘ ‘)

　　　　t = 100000 // 6 + 1
　　　　for i in range(1,t):
　　　　 x = 6 * i - 1
　　　　for j in range(3,int(x**0.5)+1,2):
　　　　if x % j == 0:
　　　　break
　　　　 else:
　　　　　 print(x ,end = ‘ ‘)

　　　　 y = 6 * i + 1
　　　　 for j in range(3, int(y0.5)+1,2):
　　　　 if y % j == 0:
　　　　 break
　　　　else:
　　　　　 print(x ,end = ‘ ‘)
此算法的复杂度为(n/3052)(n0.5+1)/2,将总范围分成３０为一块，则６的倍数有５个，相邻的数就是１０个。

                     优化思路：
                     对于１号算法，我们知道末尾是５的数一定能被５整除，所以末位是５的数一定不是素数，复杂度可以降为0.4*n*((n**0.5+1)*0.4)。不是偶数且末为不是５，就剩（１，３，７，９），所以４/10=0.4,第二层循环也是如此。优化效率提升56%(0.5**2/0.4**2-1=0.56)。
                     对于２号算法，思路也是刨去末位为５的数。例如，30~60这一块内，６的倍数有（36,42,48,54,60）,相邻的数是（35,37,41,43,47,49,53,55,59,61）,有两个末位是５的数（35,55）,所以将总范围分成３０为一块，只需计算８个数，优化后复杂度为(n/30*(5*2-2))*(n**0.5+1)*0.4=4/15*n*(n**0.5+1)*0.4。相比优化后的１号算法，优化后的２号算法效率提升50%(其余项约分，只剩0.4/(4/15),所以0.4/(4/15)-1=0.5)。

                    综上可见，降低算法复杂度是提高解决问题效率的不二法门。