向量范数和矩阵范数

Posted 2020-12-28 elaine-dwl

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title: 向量范数和矩阵范数
date: 2018-05-28 16:49:50
tags: [经常忘,数学]
categories: 概念
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范数

范数分为向量范数和矩阵范数，概念经常忘记，这里总结一下。

向量范数

对于向量(x=[x_1,x_2,...,x_N])，其范数定义如下：

p-范数

(|x|_p=(sum_{i=1}^N|x_i|^p )^{1/p})

对向量元素绝对值的p次方求和后，再计算1/p次幂。

特殊地，当p取0，1，2，(infty)，(-infty)，时，对应范数意义如下。

0-范数

特殊地，数学中认为，向量的0范数即向量中非零元素个数。

1-范数

(|x|_1=sumlimits_{i=1}^N|x_i|)

向量的1范数即向量中元素的绝对值之和。到原点的距离之和。

2-范数

(|x|_2=left(sumlimits_{i=1}^N|x_i|^2 ight)^{frac12})

向量的2范数也称欧几里得范数，也就是通常说的向量长度。

(infty)-范数

(|x|_infty=maxlimits_{i}|x_i|)

向量的正无穷范数即向量元素绝对值中的最大值。到原点的最远距离。

(-infty)-范数

(|x|_{-infty}=maxlimits_i|x_i|)

向量的负无穷范数即向量元素绝对值中的最小值。到原点的最近距离。

矩阵范数

对于矩阵(A=(a_{ij})_{mast n})，其范数定义如下：

0-范数

矩阵的0-范数同样标识矩阵中非零元素的个数。可以表示矩阵的稀疏程度。

1-范数

(|A|_1=maxlimits_jsumlimits_{i=1}^m|a_{ij}|)

矩阵的1-范数，也称列和范数，即所有矩阵列向量的绝对值之和的最大值。

2-范数

(|A|_2=sqrt{lambda_1})，(lambda_1)是(A^TA)的最大特征值(所以说方阵才有2-范数)。

矩阵的2-范数，也称谱范数，即(A^TA)的最大特征值开平方。

(infty)-范数

(|A|_infty=maxlimits_isumlimits_{j=1}^m|a_{ij}|)

矩阵的(infty)-范数，也称行和范数，即所有矩阵行向量的绝对值之和的最大值。

F-范数

(|A|_F=left(sumlimits_{i=1}^msumlimits_{j=1}^na_{ij}^2 ight)^{frac12})

矩阵的F-范数，即Frobenius范数，矩阵元素的平方和再开平方。