重磅新书上市！美国数学协会前会长全新力作，学好微积分的全新思路！

Posted 2023-02-28 turingbooks

本书不会告诉你如何做微积分练习。我的目标是解释微积分是如何以及为何产生的。然而，往往微积分的叙事结构消失在种种法则和步骤背后。

我希望本书的读者能够从微积分的故事中获得启迪。我假定读者对微积分有一定了解，但事实上，我写的绝大部分内容只需要读者具有对数学的好奇心，以及极少的其他数学预备知识。

大多数学习过微积分的人知道，牛顿和莱布尼茨“站在巨人的肩膀上”，而且我们今天所学习的课程并非300多年前他们留传下来的内容。不过令人不安的是， 我们往往会听到这样的解释：微积分好像是在17世纪晚期就已经完全定型，而且此后几乎没有变化的一门学科。

事实是，我们今天所了解的这门课程经过整个19世纪才定型，被精心组织以满足研究型数学家的需要。我们今天通常采用的进程，即微积分AP(前置) 课程所认定的微积分四大核心理念(Four Big Ideas)——极限、导数、积分和级数——对一门分析课程来说是合适的， 分析课程致力于理解在试图应用微积分时可能会犯的各种错误，但它为理解微积分提供了一条艰难的路径。

本书的目标，是利用这四大核心理念的历史发展，来指引抵达微积分的更自然和更直观的路径。

01

微积分的核心理念

微积分核心理念的历史进程始于积分，或更准确地说，累积。这至迟可以追溯到公元前4世纪对圆的面积等于一个底为圆周长(π × 直径)、高为圆半径的三角形的面积的解释，在接下来的几百年里，古希腊哲学家变得擅长于推导旋转多面体的表面积和体积公式。 

正如我们将看到的，这个方法被阿拉伯、印度和中国数学家进一步发展，并在17世纪的欧洲达到其顶点。

累积并不只有面积和体积。在14世纪的欧洲，哲学家将变化的速度作为位移的变化率来研究。我们发现了积累小的变化量以求得总的变换量的第一个例子，这些哲学家意识到，如果物体的速度用一条曲线到一条水平线的距离表示，则速度曲线与水平线之间的面积就是物体所走过的路程。

因此，路程的累积可以表示为面积的累积，从而将几何与运动联系起来。

02

导数

接下来出现的一个核心理念是导数，它包含一系列的解题技巧，其核心思想是变化率。线性函数很特殊，因为输出的变化量与输入的变化量之比值是常数。

在公元500年左右，古印度天文学家在研究弧长的改变如何影响对应的弦长的改变时，发现了我们今天视为正弦与余弦的导数。他们在探究敏感性，即导数的关键应用之一：理解一个变量的小的改变如何影响一个相关联的变量。

在17世纪的欧洲，变化率的研究以切线的形式出现。最终，它们汇入变化率的一般研究。微积分诞生了，牛顿与莱布尼茨相互独立地认识到，求解累积问题与变化率问题的技巧是互逆的，从而使得自然哲学家使用在一个领域内找到的解来回答另一个领域内的问题。

03

级数

出现的第三个核心理念是级数。虽然写成无穷和的形式，但无穷级数其实是部分和序列的极限。级数独立地出现在13世纪的印度与17世纪的欧洲，其建立源于对多项式逼近之基础的探索。当微积分建立起来以后，在18世纪早期，级数成了为动力系统建立模型的必备工具，其地位是如此重要，以至于欧拉——为18世纪数学定型并确立了微积分威力的数学家——断言，对微积分的任何学习都必须从无穷级数开始。

术语无穷求和是一个自相矛盾的组合。从字面上看，“无穷” 意味着没有终结， 而“求和”(summation) 与“顶点”(summit) 相关，意味着引出一个结论。所以， 无穷求和是一个引出结论的无休止的过程。

如果应用时不小心，就可能引出错误的结论和显然的矛盾。主要是理解无穷和的种种困难，在19世纪推动了最后一个核心理念——极限——的发展。 “极限” 一词的通常用法包含了会令学生误入歧途的种种含义。

正如格拉比内(Grabiner) 指出的，极限的现代含义源于不等式的代数，这些不等式通过控制自变量而控制了因变量的振幅。

04

微积分的四大核心理念

按照历史顺序，微积分的四大核心理念，即我们前四章的标题依次是：

(1) 累积(积分)；

(2) 变化率(导数)；

(3) 部分和序列(级数)；

(4) 不等式的代数(极限)。

此外，我补充了一章以介绍19世纪分析学的某些方面。不清楚代数在微积分中如何应用的人不应该教授代数，同理，不清楚微积分在19世纪如何演化的人不应该教授微积分。虽然严格遵循这个历史顺序也许是不必要的，但任何讲授微积分的人应该明白不遵循它的潜在危险。

那我们又怎么会采用一个与历史近乎相反的顺序呢：首先是极限，而后是导数、积分，最后是级数？答案是，这是19世纪研究型数学家的需要，他们揭示了微积分内部的显然矛盾。正如欧几里得所开创并为数学界广泛接受的范式所要求的，一个逻辑上严格的解释始于精确的定义和对假设(在数学词汇中以公理著称) 的陈述。由此出发，人们建立论证，得到定义和公理的直接推论， 进而将它们糅合在一起，作为推演更微妙、复杂的命题和定理的基石，这个方法的优美之处在于，它使得任何数学断言的检验变得非常便利。

这就是目前微积分教学大纲的结构。由于导数和积分都建立在极限的概念之上，因此从逻辑上说，极限要首先登场。

从某种意义上说，接下来出场的是导数还是积分并不重要， 但导数的极限定义比累积的极限定义要简单，后者的精确阐明直到1854年才由黎曼给出， 而且包含了极限的复杂应用。

因此，导数几乎总是在极限之后出场， 在大一的微积分课程中，为了实际应用， 介绍的级数是泰勒级数，它是用导数定义的多项式逼近的延伸。正如在大一微积分课程中所应用的， 级数可以出现在积分之前， 不过这些理念的相对重要性通常会使得积分被置于级数之前。

对那些想要检验微积分在逻辑上合理的学生来说，我们当前所采用的进程是合适的。不过， 大一学生中只有极少数人有这个需求。通过强调微积分的历史进程，学生会理解这些核心理念是如何发展的。

如果当前的教学大纲在教学上是合理的, 事情也许不会如此糟糕。不幸的是, 并非如此。从四大核心理念中最成熟、最困难的极限开始，就意味着大多数学生无法理解其真实含义。极限要么被简化为一种具有一定有效性但可能导致许多错误假设的直观概念，要么学习它就得死记硬背许多技巧。

下一个教学问题是积分——现在它紧跟在导数之后——很快归结为求原函数。作为19世纪后期回应一个不连续函数如何仍然可积的问题的产物， 黎曼对积分的定义很难理解，导致学生忽略了作为极限的积分而只专注于作为原函数的积分。

05

累积

累积是一个非常直观的简单思想。作为微积分发展的第一步。这是有原因的。然而， 那些将积分视为求导逆过程的学生通常很难将累积问题与积分联系起来。

当前的课程设置是如此根深蒂固， 我几乎不指望本书能促使每个人调整教学大纲。我的希望是，老师和学生能关注微积分的历史发展，在教学极限时关注不等式的代数， 在教学导数时关注变化率，在教学积分时关注累积，在教学级数时关注部分和序列。

为有助于做到这一点，我补充了一个附录，它源于从数学教育研究中获得的实际见解与建议。我希望本书能帮助老师们认识到形成于19世纪并在20世纪融入当前微积分课程中的定义与定理所固有的概念上的难点。这包括极限、连续性、收敛性的精确定义. 即便没有它们, 伟大的数学家也做出了伟大的工作。但这并不是说它们不重要。它们较晚才进入微积分的世界，因为它们阐明了数学界慢慢才理解的一些微妙之处。如果大一学生难以理解其重要性，我们不应感到惊讶。

对于我如何称呼微积分创立中所涉及的人物。我还想说几句，对公元1700年以前的人，我称他们为“哲学家”，因为他们认为自己是哲学家，是“喜爱智慧的人”。

没有一个人将自己限于研究数学。牛顿和莱布尼茨即如是。牛顿将物理视为“自然哲学”，即对大自然的研究。对1700年到1850年的人，我称他们为“科学家”。虽然这个词直到1834年才被发明出来，但它精确地捕捉了这一时期发展微积分的所有人的广泛兴趣。

许多人仍然将自己视为哲学家，但重心已经转移到对我们周围世界的更实际的探究，他们中几乎每个人都对天文学和今天我们所称的“物理学” 感兴趣。1850年以后，大家往往只专注于数学问题。

在且仅在这个时期，我将称他们为数学家。