常用技巧——离散化

Posted 2020-12-27 sun-of-ice

“离散化，就是把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以提高算法的时空效率。”

很多算法的复杂度与数据中的最大值有关，比如树状数组和纯用数组实现的一对一标记。时常会遇到这种情况：数据的范围非常大或者其中含有负数，但数据本身的个数并不是很多（远小于数据范围）。在这种情况下，如果每个数据项的具体值并不重要，重要的是他们之间的大小关系的话，我们可以先对这些数据进行离散化，使数据中的最大值尽可能小且保证所有数据都是正数。

例如，有这样一个长为5的序列：102131511，123，9813186，-611，55。其中有非常大的数以及负数，会给许多算法的实现带来困扰，我们可以把这个序列离散化，使它变成这样：5，3，4，1，2。各个元素间的大小关系没有任何改变，但数据的范围一下子就变得很舒服了。

离散化的原理和实现都很简单。为了确保不出错且尽可能地提高效率，我们希望离散化能实现以下几种功能：1.保证离散化后的数据非负且尽可能的小2.离散化后各数据项之间的大小关系不变，原本相等的也要保持相等。由此，找出数据项在原序列中从小到大排第几就是离散化的关键。

可以通过下面的方法以O(nlong)的时间复杂度完成离散化，n为序列长度。

1. 对原序列进行排序，使其按升序排列。
2. 去掉序列中重复的元素。
3. 此时序列中各位置的值和位置的序号就是离散化的映射方式。

例如：对于序列105，35，35，79，-7，排序并去重后变为-7，35，79，105，由此就得到了对应关系-7->1, 35->2, 79->3, 105->4。

代码如下：

int n, a[maxn], t[maxn];
//这里以下标1为序列的起点，一般情况下从0开始也可以
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
    scanf("%d", &a[i]);
    t[i] = a[i];//t是一个临时数组，用来得到离散化的映射关系
}
sort(t + 1, t + n + 1);//排序
int m = unique(t + 1, t + 1 + n) - t - 1;//去重，并获得去重后的长度m
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
    a[i] = lower_bound(t + 1, t + 1 + m, a[i]) - t;//通过二分查找，快速地把元素和映射对应起来
}