算法导论——用于不相交集合的数据结构

Posted 2020-12-27 graywind

不相交集合的操作

         一些应用涉及将n个不同元素分成一组不相交的集合，常进行两种操作：寻找包含制定元素的唯一集合以及合并两个集合。操作进行以下定于：

MAKE-SET(x)建立一个新的集合，仅含有x

UNION(x,y)将包含x和y的两个集合合并成一个新的集合，删除原本的集合

FIND-SET(x)返回一个指向包含唯一x的集合的指针

         无向图的连通分量就是一个例子。

对于如图所示的4个连通分量，先对每一个单独的点建立一个单独的集合，然后依次根据每条边合并对应的集合，最后形成4个不相交的集合

1 CONNECTED-COMPONENTS(E,V){//有E[n]个顶点V[m]条边
2     for(i=0;i<n;i++)
3         MAKE-SET(V[i]);
4     for(i=0;i<m;i++){
5         if(FIND-SET(V[i].u != FIND-SET(V[i].v))
6             UNION(V[i].u,V[i].v);
7     }
8 }

不相交集合的链表表示

(a)所示的结构通过不相交集合各自形成一个链表，索引头部包含链表的头部和尾部，链表各个结点包含指向索引头部和下个结点两个指针。对于这种结构，MAKE-SET(x)和FIND-SET(x)都可以在O(1)的时间完成。

(b)展示了UNION(x,y)的操作，需要将另一个链表连接到一个链表的末尾，然后修改索引结点的尾部，同时被合并的链表每个结点指向的索引头部都要修改，所以该操作至少要花费O(Y)的时间

为了减少合并的时间，可以在头部额外存储每个链表的大小，这样可以将小的集合合并到大的集合中去。

不相交集合森林

使用有根树来表示集合，书中每个节点包含一个成员，一棵树代表一个集合，每个成员都指向他的父结点，根结点的父结点指向自己。

(b)是合并操作，将c的父亲改为f即可。这种不相交集合森林的结构MAKE-SET和UNION的效率很高，但FIND-SET收到树高度的影响，效率较低。因此，有两种改进的启发式算法。

第一种是按秩合并，对于每个结点记录他的高度，将秩较小的结点的父亲改为大的那个。若两边相等，则任选一个作为父亲，根结点的秩加一。

第二种是路径压缩，每次调用FIND-SET的时候，将查找路径上的结点的父亲直接改为根结点。

 

 1 MAKE-SET(x){
 2     x.p = x;
 3     x.rank = 0;
 4 }
 5 
 6 UNION(x,y){
 7     if(x.rank > y.rank)
 8         y.p = x;
 9     else{
10         x.p = y;
11         if(x.rank == y.rank)
12             y.rank++;
13     }
14 }
15 
16 FIND-SET(x){
17     if(x != x.p)
18         x.p = FIND-SET(x,p);
19     return x.p;
20 }