备战NOIP[算法总结] 二分查找

Posted 2020-10-09

二分是啥？

在有序的序列中进行折半查找，可以做到log n的时间查询。

咋二分？

将n个元素分成大致相等的两部分，取a[mid]与x做比较

如果x = a[n/2]，则找到x，算法中止

如果x < a[n/2]，则只要在数组a的左半部分继续搜索x

如果x > a[n/2]，则只要在数组a的右半部分搜索x

基本代码实现

查找x在a数组中的位置　　O（log n）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int n = 6, x, a[7] = {2, 5, 9, 10, 18, 21};
 6 int main()
 7 {
 8     scanf("%d", &x);
 9     int left = 1, right = n, mid; 
10     while(left <= right)
11     {
12         mid = (left + right) / 2;
13         if(a[mid] == x)
14             break;
15         else if(a[mid] > x)
16             right = mid - 1;
17         else
18             left = mid + 1;
19     }
20     printf("the position of x : %d", mid);
21     return 0;
22 }

具体应用方法

在答案可能的范围（区间）内二分枚举

期间检查所枚举的答案是否符合题意

可以将最优性问题（直接求解，相对较难）转化为可行性问题（枚举答案是否可行，相对容易）

 

http://www.cnblogs.com/luoxn28/p/5767571.html 引用一位大牛的博客，变种说的很详细

二分查找变种较多，不过它们的“套路”是一样的，以上代码就是其套路，如何快速写出二分查找的代码，只需按照以下步骤即可：

1 首先判断出是返回left，还是返回right

　　因为我们知道最后跳出while (left <= right)循环条件是right < left，且right = left - 1。最后right和left一定是卡在"边界值"的左右两边，如果是比较值为key，查找小于等于（或者是小于）key的元素，则边界值就是等于key的所有元素的最左边那个，其实应该返回left。

　　以数组{1, 2, 3, 3, 4, 5}为例，如果需要查找第一个等于或者小于3的元素下标，我们比较的key值是3，则最后left和right需要满足以下条件：

　　我们比较的key值是3，所以此时我们需要返回left。

2 判断出比较符号

int mid = (left + right) / 2;
if (array[mid] ? key) {
    //... right = xxx;
}
else {
    // ... left = xxx;
}

　也就是这里的 if (array[mid] ? key) 中的判断符号，结合步骤1和给出的条件，如果是查找小于等于key的元素，则知道应该使用判断符号>=，因为是要返回left，所以如果array[mid]等于或者大于key，就应该使用>=，以下是完整代码

// 查找小于等于key的元素
int mid = (left + right) / 2;
if (array[mid] >= key) {
    right = mid - 1;
}
else {
    left = mid + 1;
}

 

算法的关键

如何去检验当前答案是否符合题目条件（check函数）

常见方法：

　　穷举、贪心、搜索、动规、图论、数据结构等