动态规划之完全背包详解

Posted 2020-10-09

在昨天我已经很详细的讲解过01背包的动态规划问题了，今天我讲解的是完全背包的问题，这是01背包的详解：http://www.cnblogs.com/Kalix/p/7617856.html

先看问题：在n种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在空间为v的背包里，每种物品的体积为c1，c₂，…，c_n，与之相对应的价值为w₁,w₂，…，w_n.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大

看完这个问题，你也许会觉得这个不就是01背包的升级版吗，其实就是这样，完全背包问题与01背包问题的区别在于完全背包每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有1个

所以说与它相关的策略已经不是只有取和不取这两种策略了，而是有取0件、取1件、取2件……等等很多种策略

如果我们用和01背包一样的状态，f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值，那我们应该用k表示当前容量下可以装第i种物品的件数，那么k的范围应该是0≤k≤v/c[i]，

既然要用当前物品i把当前容量装满，那需要0≤k≤v/c[i]件，其中k表示件数。

下面给出状态转移方程：

f[i][j] = max{f[i-1][v],f[i-1][v - k * c[i]] + k * w[i]}(0<=k*c[i]<=v)

 

贴一段代码：

 for (int i = 1; i < n; i++){
   for (int j = 1; j <= v; j++){
     for (int k = 0; k*c[i] <= j; k++){
　　  if(c[i]<=j)/*如果能放下*/
　　  f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j - k * c[i]] + k * w[i]};/*要么不取，要么取0件、取1件、取2件……取k件*/
　  　else/*放不下的话*/
　　  f[i][j]=f[i-1][j]/*继承前i个物品在当前空间大小时的价值*/
        }
    }    
}

我们可以对其进行优化：如果有两件物品a、b满足c[a]<=c[b]且w[a]>=w[b]，则将物品b去掉，不用考虑。因为你可以用 占用体积小的物品 得到 比 占用体积大的物品还要多的价值，何乐而不为呢。其实对于完全背包，可以再优化，首先将容量大于v的物品去掉，然后排序计算出容量相同的物品中价值最高的是哪个，我们只要价值大的就可以了。

画一个v=6，c[1]=1 , w[1]=3 ; c[2]=3 , w[2]=10的表格

i\\j			j=0	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6
i=0			0	0	0	0	0	0	0
i=1			0	3	6	9	12	15	18
i=2			0	3	6	10	13	16	20

我们再进行优化，改变一下dp思路，让f[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。

所以说，对于第i件物品有放或不放两种情况，而放的情况里又分为放1件、2件、......v/c[i]件

如果不放那么f[i][j]=f[i-1][j]；如果确定放，那么当前背包中应该出现至少一件第i种物品，所以f[i][j]中至少应该出现一件第i种物品,即f[i][j]=f[i][j-c[i]]+w[i]，为什么会是f[i][j-c[i]]+w[i]？

因为我们要把当前物品i放入包内，因为物品i可以无限使用，所以要用f[i][j-c[i]]；如果我们用的是f[i-1][j-c[i]]，f[i-1][j-c[i]]的意思是说，我们只有一件当前物品i，所以我们在放入物品i的时候需要考虑到第i-1个物品的价值(f[i-1][j-c[i]])；但是现在我们有无限件当前物品i，我们不用再考虑第i-1个物品了，我们所要考虑的是在当前容量下是否再装入一个物品i，而[j-c[i]]的意思是指要确保f[i][j]至少有一件第i件物品，所以要预留c[i]的空间来存放一件第i种物品。总而言之，如果放当前物品i的话，它的状态就是它自己"i"，而不是上一个"i-1"。

所以说状态转移方程为：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i])

贴一段代码：

for(int i = 0 ; i < n ; i ++)  
{  
    for(int j = 1 ; j <= v ; j++)  
    {
        if(c[i]<=j)
        f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]);  
        else
        f[i][j]=f[i-1][j];
    }
}

　　我们可以继续优化此算法，可以用一维数组写

我们用f[j]表示当前可用体积j的价值，我们可以得到和01背包一样的递推式：

f[j] = max(f[j],f[j-c[i]]+w[i])

先贴出代码，再讲解：

for(int i = 0 ; i < N ; i ++)  
{  
    for(int j = c[i] ; j <= V ; j++) 
     {
        if(c[i]<j)
        f[j] = max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]); 
        else
        f[j]=f[j];

　　}     
}

　　

对于01背包来说，是逆序，装不装当前物品i取决于第i-1个物品(f[i][]只和f[i-1][]有关)；而对于完全背包来说，装不装物品取决于他前一个物品i(因为可以放无数个物品i)，因为当前物品i是无限的不用去考虑f[i-1][]，而应当考虑当前状态下是否应当再装入当前一个物品i。或者换一种说法：完全背包考虑的是第i种物品的出现的问题(该不该放入当前物品i)，第i种物品一旦出现它势必应该对第i种物品还没出现的各状态造成影响，也就是说，原来没有第i种物品的情况下可能有一个最优解，现在第i种物品出现了，而它的加入有可能得到更优解，所以之前的状态需要进行改变，故需要正序。

也就是说完全背包是说，在当前体积下，是否要放入或者再放入一个当前物品i，而01背包是说，在当前体积下，是否要放入一个当前物品i

对于完全背包还可以用二进制的方法写，这里就不讲了

谢谢

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Authentic Author : Tranx

2017.10.2  19:18