前缀中缀后缀表达式以及简单计算器的实现

Posted 2020-12-27 sgatbl

前缀表达式（波兰表达式）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰表达式）

介绍

　　三种表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值，即数学表达式的求解。

前缀表达式

• 前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”。例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。

中缀表达式

• 中缀表达式就是一般的算数表达式，操作符以中缀形式出现在操作数之间。

后缀表达式

• 后缀表达式指的是不包含括号，运算符放在两个运算对象的后面，所有的计算按运算符出现的顺序，严格从左向右进行（不再考虑运算符的优先规则）。

中缀表达式转前缀表达式

　　例如：对于中缀表达式(3+4)×5-6，其前缀表达式为- × + 3 4 5 6。前后缀表达式与中缀之间的转换关系，不在此赘述，在Seraphjin的博客中，通过二叉树的方式，很好地解释了这一内容。

除了该博客中所说的二叉树法，还可以通过栈方法，来实现二者的转换，具体步骤如下：

•  初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
• 从右至左扫描中缀表达式；
•  遇到操作数时，将其压入S2；
• 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
•  如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
•  否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
•  否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
• 遇到括号时：
•  如果是右括号“)”，则直接压入S1；
• 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
• 重复上述步骤，直到表达式的最左边；
• 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
• 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

前缀表达式的计算机求解

　　利用计算器对前缀表达式求解其算数值时，采用从左到右扫描的方法，遇到操作数，则将其入栈，遇到操作符，则从栈中弹出两个操作数，由于前缀操作符位于数字之前，因此，第二个弹出的操作数为被操作数。然后对两个操作数根据操作符做相应的操作。

1. 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
2. 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
4. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

中缀表达式转后缀表达式

　　表达式的转换，有二叉树法和栈方法，二叉树法不在此追述，详情见上文链接。

　　栈方法将中缀表达式转后缀表达式的方法如下所示：

• 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
• 从左至右扫描中缀表达式；
• 遇到操作数时，将其压入S2；
• 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
•  如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
• 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
•  否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
• 遇到括号时：
• 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
• 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
• 重复上述步骤，直到表达式的最右边；
• 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
• 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不 用逆序）。

后缀表达式在算数逻辑运算中的作用，以及简单计算器的C++实现