Luogu P2261 [CQOI2007]余数求和

Posted 2020-12-27 bljfy

题目大意

给定两个数$large n$和$large k$求$$large {G(n,k)=sum_{i=1}^{n}k mod i}$$。

 

解题思路

很明显，60分的暴力很好拿，但是数据范围限制了你的想象力。暴力绝对会被卡死。所以考虑有没有规律可寻。

自己手玩了一下数据发现最后$large{i>k}$的时候余数都是一样的，都是$large k$，那么其他的部分是不是也是相同的呢？

于是又开始YY。最后发现整个$large{k mod i}$序列可以分为好几个子序列，每个子序列的余数相同。

所以可以用分块来解决，分块的话，考虑每次计算一个余数相同的序列的左右端点，就可以算出这一段的余数之和。

假设我们知道$large{a mod b = a - b imes lfloor frac{a}{b} floor}$那么之前的式子就可以变成$$large{G(n,k) = prod_{i=1}^{n}k-i imes lfloor frac{k}{i} floor=n imes k-prod_{i=1}^{n}i imes lfloor frac{k}{i} floor}$$。

 

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL n, k, Ans;

int main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	for(LL l=1, r; l<=n; l=r+1) {
		LL t = (k/l);
		if(t == 0) r = n;
		else r = min(k/t, n);
		Ans -= t*(r-l+1)*(r+l)/2;
	}
	printf("%lld", Ans+n*k);
}