CF [2016-2017 ACM-ICPC CHINA-Final][GYM 101194 H] Great Cells
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很久以前做的一道思博题了,今天来补一补。
大致题意:在一个(n*m)的矩阵内填整数,数字在([1,k])范围内。矩阵中某格的数为great
number当且仅当与它同行同列的数字都严格比它小。记(A_g)为矩阵中恰有(g)个great
number的填数方案数,求(sum_{g=0}^{nm}(g+1)cdot A_g)。((n,m,kle200))
首先我们可以看出,上界必定是(min(n,m)),这个不解释了吧
而又有一个性质,(sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g=K^{nm})。即所有的great number方案数等于总填数方案数
所以我们拆出(sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g)于是只需要考虑如何构造出(sum_{g=0}^{min(n,m)} gcdot A_g)
我们还是回头再看一眼题面,(g)究竟是什么:
记(A_g)为矩阵中恰有(g)个great number的填数方案数
那么每一个great number在该方案下都对答案贡献(1)
还不懂?再转化一步,也就是每个格子上的数为great number的方案数之和
这就是(sum_{g=0}^{min(n,m)} gcdot A_g=nmcdotsum_{i=2}^k (i-1)^{n+m-2}cdot k^{(n-1)cdot (m-1)})
然后各种乱搞就可以了
CODE
#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int t,n,m,k,ans;
inline char tc(void)
{
static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,isdigit(ch=tc()));
}
inline int quick_pow(int x,int p)
{
long long tot=1;
while (p)
{
if (p&1) tot=tot*1LL*x%mod;
x=1LL*x*x%mod; p>>=1;
}
return (int)tot;
}
inline void inc(int &x,int y)
{
if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
int main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
register int i,j; read(t);
for (i=1;i<=t;++i)
{
read(n); read(m); read(k);
for (ans=0,j=2;j<=k;++j)
inc(ans,1LL*quick_pow(j-1,n+m-2)*quick_pow(k,n*m-n-m+1)%mod);
ans=(1LL*ans*n*m)%mod; inc(ans,quick_pow(k,n*m));
printf("Case #%d: %d
",i,ans);
}
return 0;
}
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