动态规划之01背包详解

Posted 2020-10-09

先看问题:

有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

通过阅读问题，因为背包就是要往里面放东西，所以一件物品就是有放或不放两种情况，那么怎么才能判断当前物品该不该放进去从而使利益最大化呢。

首先，我们用i代表前i件物品，v代表包的最大承重，ci是第i件物品的重量、wi是第i件物品的价值、f[i,j]是最大价值(i个物品放入有j个空间的包)。

第一种情况：第i件不放进去，这时所得价值(f[i][j])为:f[i][j]=f[i-1][v]

因为不放进去，所以说当前价值(f[i][j])为前i-1个物品的价值f[i-1][v]：当前i个物品用j个空间所拥有的价值就等于前i-1个物品用j个空间的价值，因为物品i没有放进去,

所以就相当于继承f[i-1][v]了，所以f[i][j]=f[i-1][v]

另一种情况：第i件放进去，这时所得价值为:f[i][j]=f[i-1][v-c[i]]+w[i]

因为放进去了，所以说当前价值(f[i][j])不是前i-1个物品的价值f[i-1][v]：因为你放进去了，所以这个时候包内的空间就不是v了，而应该是v-c[i]，所以说，

你现在需要继承前i-1个物品占用体积为v-c[i]时的价值，因为你将物品放进去了，所以还需要加上当前物品价值wi,所以f[i][j]=f[i-1][v-c[i]]+w[i]

因为对于第i件物品就是这两种操作，而你又想要最大价值，所以

f[i][j]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i])

贴一段代码：(n为物品数量)

for (int i=1;i<=n;++i)
 {　for (int j=v;j>=1;--j)
　　 {
       if(c[i]<=j)//如果当前物品可以放入当前空间的背包
       f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
       else f[i][j]=f[i-1][j];//如果当前物品放不进去，那么继承前i个物品在当前空间大小时的价值
　　　}
  }

当n=3，v=6时的表格：

c[1]=2 , w[1]=7 ;  c[2]=3 , w[2]=1 ; c[3]=5 , w[3]=4;我用红色的数字标记一下在当前代码下填表的顺序，运行之后f[n][v]为最优值，可见此时最优值为f[3][6]=8;

i\j			j=0	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6
i=0			0	0	0	0	0	0	0
i=1			0	(6)7	(5)7	(4)7	(3)7	(2)7	(1)7
i=2			0	(12)8	(11)8	(10)8	(9)8	(8)8	(7)8
i=3			0	(18)0	(17)0	(16)0	(15)0	(14)8	(13)8

 

以上是用二维数组存储的，其实还可以用一维数组存储进行空间优化(滚动数组)

从上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，所以说并没有使用其他子问题，所以说在存储子问题解的时候，只用存储f[i-1]的子问题解即可；所以说可以用一个一维数组替换掉那个二维数组，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。

我们用f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值

那滚动数组应当如何滚动呢，用二维数组计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，而并没有使用到f[i-1][j+1]，所以在计算j的循环的时候，让j=M……1

这个时候你也许会问，那你上面用的二维数组不也是逆序吗，其实对于二维数组的来说，正逆序无所谓，当你懂得01背包的算法之后就可以明白这一点

下面给出一维数组优化过的代码：

for (int i=1;i<=n;++i)
{
        for (int j=v;j>=0;--j)
    {
            if(t[i]<=j)
            f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+t[i]);
            else f[j]=f[j];
     }
}

　　因为二维的我已经讲解的很详细了，所以一维数组的跟二维数组的相差的不是太多，只要你懂了二维数组的那个是如何工作的，这个我相信你也会很容易理解，我这里就不细化讲解了。

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Authentic Author : Tranx

2017.10.1  21:11