OJ2171最佳路径

Posted 2020-12-27 farway17

2171 -- 最佳路径（Solution）

题目大意 ： 给出一个 (n) 个顶点 (m) 条边的带权有向图，你要从 (1) 号点到 (n) 号点，途中你可以进行不超过 (C) 次操作：经过一条边时，将这条边的边权取反一次，经过后该边权复原。求 (1) 号点到 (n) 号点的最短路径。（保证一开始边权为非负，不保证最后答案非负。） ((n≤100，m≤20000，C≤300000))

Tag： 最短路、矩阵快速幂

Analysis By LC：

我们先求出不操作和操作一次的最短路径图：我们将原图复制一份，若两点之间有边，则在两图的两点间连一条边权取反的边，即若 (u ightarrow v) 边权为 (w) ，则 (u_1 ightarrow v_1) 边权为 (w) ， (u ightarrow v_1) 边权为 (-w) ，这样跑一遍最短路即可求出不操作和操作一次的最短路。（详解：你操作一次后，相当于从原图走了一条路径到了复制图，那么原图的点到复制图的点的最短路即为操作一次的最短路。）

那么得到了操作一次的最短路就可以得到操作 (C) 次的最短路：因为在操作一次的图上，每经过一个点就相当于进行了一次操作，那么我们的问题就可以转化为：求经过不超过 (C) 个点的最短路，这是一类经典的图邻接矩阵快速幂的问题，可以直接用矩阵快速幂求解。需要注意的是 (C) 为 (0) 的情况，你可以快速幂后再乘上不操作的图，也可以直接特判输出不操作的最短路径。

这是一个很有意思的题目（lzz大佬的题），欢迎大家来玩！

Code By LC ：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
int n,m,c,ma[N*2][N*2];
inline int _read()
{
    char c; int x=0;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    return x;
}
struct matrix
{
    ll a[N][N];
    matrix()    {
        memset(a,0x3f,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i][i]=0;
    };
    matrix operator * (matrix s) const  { //矩阵乘法改为松弛操作
        matrix ret;
        for(int k=1;k<=n;k++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    ret.a[i][j]=min(ret.a[i][j],a[i][k]+s.a[k][j]);
        return ret;
    }
};
matrix mpow(matrix s, int t) //矩阵快速幂
{
    matrix ret;
    while(t)
    {
        if(t&1) ret=ret*s;
        s=s*s; t>>=1;
    }
    return ret;
}
void floyd() //求不操作和操作一次的最短路
{
    for(int k=1;k<=n*2;k++)
        for(int i=1;i<=n*2;i++)
            for(int j=1;j<=n*2;j++)
                ma[i][j]=min(ma[i][j],ma[i][k]+ma[k][j]);
}
int main()
{
    int T=_read();
    while(T--)
    {
        n=_read(),m=_read(),c=_read();
        memset(ma,0x3f,sizeof(ma));
        for(int i=1;i<=n;i++) ma[i][i]=ma[i][i+n]=0;
        while(m--)
        {
            int u=_read(),v=_read(),w=_read();
            ma[u][v]=ma[u+n][v+n]=min(w,ma[u][v]); //原图复制一份，重新构图
            ma[u][v+n]=min(-w,ma[u][v+n]); //两图间连边权为负的边
        }
        floyd();
        matrix x,y;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                x.a[i][j]=ma[i][j],y.a[i][j]=ma[i][j+n]; //x:不操作的最短路矩阵；y:操作一次……
        matrix p=mpow(y,c);
        x=x*p; //防止C=0，再乘上原矩阵
        printf("%lld
",x.a[1][n]);
    }
}