线段树分治总结（线段树分治，线段树，并查集，树的dfn序，二分图染色）

Posted 2020-12-27 flashhu

闲话

stO猫锟学长，满脑子神仙DS

线段树分治思想

我们在做CDQ的时候，将询问和操作通通视为元素，在归并过程中统计左边的操作对右边的询问的贡献。

而在线段树分治中，询问被固定了。按时间轴确定好询问的序列以后，我们还需要所有的操作都会影响一个时间区间。而这个区间，毫无疑问正好对应着询问的一段区间。

于是，我们可以将每一个操作丢到若干询问里做区间修改了，而线段树可以高效地维护。我们开一个叶子节点下标为询问排列的线段树，作为分治过程的底层结构。

具体的实现，仍然要看题目。

例题1

BZOJ4025二分图（点击进入题目）

首先，图是二分图的充要条件是不存在奇环。

这个性质非常好。我们可以维护一棵生成树，假如当前要加入一条边(x-y)，而生成树中(x)到(y)的路径上有偶数条边，那么就会形成奇环。如果(x)到(y)的路径上有奇数条边，就没问题，而且去掉这条边不会影响后续奇偶性的判断。这就让我们想到LCT做法：像WC2005双面棋盘一样，维护关于边删除时间的最大生成树，每次加边并判断。这里不详细展开。

关于维护奇偶性，我们还可以这样想：二分图染色！每次新加入一条边的时候，我们需要保证(x,y)之前其中之一未被染色或已染上不同颜色。因此我们参考NOIP2010关押罪犯，维护并查集，对每个点(x)额外建一个点(x‘)表示它的反集，在加边时，如果(x,y)位于同一集合，将不再是二分图。否则合并(x,y‘)和(y,x‘)。

但是边有存在时间，而并查集显然不能随意删边。这时候，线段树分治的一大妙用就派上用场了。

发现每个时刻都要询问是否为二分图，我们就对时间建立线段树。对于每条边，我们就按照区间加法的模式，把边挂在出现时间对应线段树内的(log)个节点上，用链表实现。分治时，从根节点出发，每到一个节点，将挂在该节点上的所有边合并，然后递归处理左儿子和右儿子。如果发现有某条边合并会出现奇环，那么显然可以断言，当前线段树节点所对应的时间区间都不会形成二分图。当成功到达叶子节点的时候，我们惊奇地发现，在这一时刻的所有边已经在并查集中，而这一时刻也得到了Yes的肯定答案！

一口气搞完了线段树分治流程的一大半，现在我们看看之前不能随意删边的问题。发现我们遍历线段树过程的本质，实际上是跑了一遍dfn序。这明显是一个栈的过程，不断向下遍历，同时加边；再进行回溯，我们要删去的是最后加的边！而使用按秩合并不路径压缩的并查集，我们就可以轻松做到可撤销最后一步的加边。实现的时候，也要写一个栈，保存每次并查集合并的有关信息（合并时加入的边，合并后树高(dep)的变化），在线段树中处理完左右子树后，将在当前节点加入的边删除。

分治过程至此结束。来分析一下复杂度。每条边会挂在(log T)个线段树节点上。因为并查集没有路径压缩，所以每次加边删边判连通性时都需要跳(log n)次(fa)。于是得出了总复杂度(mlog nlog T)。

写法上，蒟蒻还通过许多Dalao的博客了解到另一种用异或和维护奇偶性的并查集写法。比起蒟蒻提到的这种，常数小了一半，但感觉思路没那么简洁（其实是因为我这种弱鸡弄不懂比不上Dalao）

实现细节方面，注意题目中时间段与时刻的区别（时间段从(1)开始，时刻从(0)开始）。数据中还有某些边出现了“瞬闪”的现象（出现时刻等于消失时刻），做区间加法时不特判一下会RE。数据中还有自环（不能构成二分图），不过使用蒟蒻这种并查集写法似乎没影响。

#include<cstdio>
#define I inline
#define RG register
#define R RG int
const int N=2e5,M=N<<1,L=4e6;
char buf[M],*pe=buf+M,*pp=pe-1;
int p,st[L],u[M],v[M],f[M],d[M],he[M],ne[L],id[L];
bool fl[L];
I void gc(){
    if(++pp==pe)fread(pp=buf,1,M,stdin);
}
I void pc(RG char C){
    if(++pp==pe)fwrite(pp=buf,1,M,stdout);*pp=C;
}
I int in(){
    gc();while(*pp<‘-‘)gc();
    R x=*pp&15;gc();
    while(*pp>‘-‘)x=x*10+(*pp&15),gc();
    return x;
}
I int get(R x){//直接跳fa
    while(f[x])x=f[x];
    return x;
}
I void merge(R x,R y){
    if(x==y)return;
    if(d[x]>d[y]){R t=x;x=y;y=t;}
    f[st[++p]=x]=y;//按秩合并，信息压入栈
    d[y]+=fl[p]=d[x]==d[y];//注意dep有没有变也要压
}
void upd(R t,R l,R r,R s,R e,R i){//区间加
    if(l==s&&r==e){
        ne[++p]=he[t];id[he[t]=p]=i;//挂链
        return;
    }
    R m=(l+r)>>1;
    if(e<=m)upd(t<<1,l,m,s,e,i);
    else if(s>m)upd(t<<1|1,m+1,r,s,e,i);
    else upd(t<<1,l,m,s,m,i),upd(t<<1|1,m+1,r,m+1,e,i);
}
void div(R t,R l,R r){
    R x,y,i,m=(l+r)>>1,lst=p;
    for(i=he[t];i;i=ne[i]){
        if((x=get(u[id[i]]))==(y=get(v[id[i]]))){
            for(;l<=r;++l)pc(‘N‘),pc(‘o‘),pc(‘
‘);
            goto E;//出现奇环，断定整个区间不合法
        }
        merge(get(u[id[i]]+N),y);//合并反点
        merge(get(v[id[i]]+N),x);
    }
    if(l==r)pc(‘Y‘),pc(‘e‘),pc(‘s‘),pc(‘
‘);
    else div(t<<1,l,m),div(t<<1|1,m+1,r);
  E:for(;p>lst;--p)//撤销
        d[f[st[p]]]-=fl[p],f[st[p]]=0;
}
int main(){//g++：unused variable ‘n’。蒟蒻：叫我怎么用你？
    R n=in(),m=in(),t=in(),s,e;
    for(R i=1;i<=m;++i){
        u[i]=in();v[i]=in();s=in();e=in();
        if(s!=e)upd(1,1,t,s+1,e,i);//特判
    }
    pp=buf-1;div(1,1,t);
    fwrite(buf,1,pp-buf+1,stdout);
    return 0;
}