bzoj4144 [AMPPZ2014]Petrol

Posted 2020-12-27 bestfy

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题意：

给一个n个点m条边的带权无向图，其中k个点是加油站，每个加油站可以加满油，但不能超过车的油量上限。有q个询问，每次给出x,y,b，保证x,y都是加油站，问一辆油量上限为b的车从x出发能否到达y？

$n,m,s,qleq 2 imes 10^5.$

 

题解：

只有加油站是有用的点，问题可以转化为求一个加油站的排列，使得相邻两个加油站距离最大值小于等于油量上限。一个简单粗暴的想法是求出加油站两两最短路，然后直接上MST，离线处理询问。

其实上述的暴力做法是有很多冗余的（有很多边用不到）。考虑更优的建边方式。可以发现一个加油站每次往离他最近的加油站走最优（显然，不然为什么求的是MST）。我们将所有加油站扔进dijkstra里跑多源最短路，求出距离每个点最近的加油站，记为nearest[]。对于原图上一条边$usim v$，假如nearest[u]=nearest[v]，那么这条边没有用；否则，建一条$nearest[u]sim nearest[v]$的边，边权为dis(u,nearest[u])+dis(v,nearest[v])+dis(u,v)。相当于添加了一条nearest[u]到nearest[v]的路径（经过u-v这条边）。那么将所有原图的边遍历完之后，也恰好加入了所有可能在MST上的加油站之间的边。

那么再对这个新图跑MST，离线处理询问即可。复杂度$mathcal{O}(nlog n+alpha(m+q))$。

 

code:

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 3 #define ll long long
 4 #define inf 1000000001
 5 #define y1 y1___
 6 #define pli pair<ll,int>
 7 #define fi first
 8 #define se second
 9 using namespace std;
10 char gc(){
11     static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
12     return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
13 }
14 #define gc getchar
15 ll read(){
16     char ch=gc();ll x=0;int op=1;
17     for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch==‘-‘) op=-1;
18     for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
19     return x*op;
20 }
21 #define N 200005
22 int n,k,m,x,cnt,head[N],nrst[N],fa[N];ll dis[N];bool vis[N];
23 struct edge{int to,nxt,w;}e[N<<1];
24 struct ask{int x,y,w,id;}q[N];
25 struct node{
26     int x,y;ll w;node(){}
27     node(int x_,int y_,ll w_){x=x_,y=y_,w=w_;}
28 }a[N];
29 bool cmp_q(ask x,ask y){return x.w<y.w;}
30 bool cmp_a(node x,node y){return x.w<y.w;}
31 priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli> > q_;
32 void adde(int x,int y,int z){
33     e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;
34     e[cnt].w=z;
35 }
36 void dij(){
37     while (!q_.empty()){
38         int u=q_.top().se;q_.pop();
39         if (vis[u]) continue;vis[u]=1;
40         for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
41             int v=e[i].to;
42             if (dis[v]>dis[u]+e[i].w)
43                 dis[v]=dis[u]+e[i].w,q_.push(pli(dis[v],v)),nrst[v]=nrst[u];
44         }
45     }
46 }
47 void build(){
48     cnt=0;
49     rep (u,1,n) for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
50         int v=e[i].to;
51         if (nrst[u]!=nrst[v]&&nrst[u]<nrst[v]) a[++cnt]=node(nrst[u],nrst[v],dis[u]+dis[v]+e[i].w);
52     }
53 }
54 int getfa(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
55 int main(){
56     n=read(),k=read(),m=read();
57     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
58     rep (i,1,k){int x=read();dis[x]=0,q_.push(pli(0,x)),nrst[x]=x;}//nrst[x]：nearest(x)，距离x最近的加油站
59     rep (i,1,m){int x=read(),y=read(),z=read();adde(x,y,z);adde(y,x,z);}
60     dij();build();
61     m=read();
62     rep (i,1,m) q[i].x=read(),q[i].y=read(),q[i].w=read(),q[i].id=i;
63     sort(&a[1],&a[cnt+1],cmp_a);sort(&q[1],&q[m+1],cmp_q);
64     rep (i,1,n) fa[i]=i,vis[i]=0;int j=1;
65     rep (i,1,m){
66         for (;j<=cnt&&a[j].w<=q[i].w;j++) fa[getfa(a[j].x)]=getfa(a[j].y);
67         if (getfa(q[i].x)==getfa(q[i].y)) vis[q[i].id]=1;
68     }
69     rep (i,1,m) puts(vis[i]?"TAK":"NIE");
70     return 0;
71 }

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