[SDOI2011]黑白棋

Posted 2020-12-26 yanshannan

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1234030

题面

这个游戏是在一个(1*n)的棋盘上进行的，棋盘上有(k)个棋子，一半是黑色，一半是白色。
最左边是白色棋子，最右边是黑色棋子，相邻的棋子颜色不同。
(A)可以移动白色棋子，(B)可以移动黑色的棋子，他们每次操作可以移动(1)到(d)个棋子。
每当移动某一个棋子时，这个棋子不能跨越两边的棋子，当然也不可以出界。当谁不可以操作时，谁就失败了。
(A)先手，有多少种初始棋子的布局会使他胜利呢？

解析

题面显然有误，如果允许白往左、黑往右，这游戏玩不完。

毕竟我是在博弈论的题单里发现这道题的
很快就反应过来：把各对相邻黑白棋子之间的距离视作一堆石子即可。
于是问题转化为一个 一次限制取(d)个 的(Nim)游戏。
这种类型问题有个结论：(SG[x]=x\%(d+1))。
即题目本质是要 各堆石子个数异或和(\%(d+1)=0)。

怎么统计方案？（注意下状态）
显然异或和为(0)这种情况很方便。于是先统计后者胜利的情况，再用方案总数减去它得到答案。
设(f[i][j])表示确定异或和二进制第(1-i)位、现有(j)个石子的方案数。
枚举该位需要(x)倍(d+1)个石子。
此时，该位对石子数的贡献取决于各堆石子该位是否为(1)。
于是要从(k/2)个堆选出(x*(d+1))个,把这些堆石子该位 置为(1)，贡献(C_{k/2}^{x*(d+1)})种方案。
同时，剩余的(n-j-k/2)个石子可以任意分到(k/2)堆中（在更高位），贡献(C_{n-j-k/2}^{k/2})种方案。
综上得方程式：
[f[i+1][j+(1<<i)*x*(d+1)]+=f[i][j]*c[k/2][x*(d+1)]]
[f[i][j]=f[i][j]*C[n-j-k/2][k/2]]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,k,d,C[10005][205],dp[18][100005];
ll ans;
il ll gi()
{
  re ll x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!=‘-‘&&(ch<‘0‘||ch>‘9‘)) ch=getchar();
  if(ch==‘-‘) t=-1,ch=getchar();
  while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
int main()
{
  n=gi();k=gi();d=gi();
  C[0][0]=1;
  fp(i,1,n)
    {
      C[i][0]=1;
      fp(j,1,200) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
  dp[0][0]=1;
  fp(i,0,16)
    fp(j,0,n-k)
    for(re int x=0;(1ll<<i)*x*(d+1)<=n-k&&x*(d+1)<=k/2;++x)
      (dp[i+1][j+(1ll<<i)*x*(d+1)]+=1ll*dp[i][j]*C[k/2][x*(d+1)]%mod)%=mod;
  fp(i,0,n-k) ans=(ans+1ll*dp[17][i]*C[n-i-k/2][k/2]%mod+mod)%mod;
  printf("%lld
",(C[n][k]-ans+mod)%mod);
  return 0;
}