bzoj2916神犇和蒟蒻 杜教筛
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj2916神犇和蒟蒻 杜教筛相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Description
很久很久以前,有一只神犇叫yzyrsw;
很久很久之后,有一只蒟蒻叫ltycky;
Input
请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;
Output
请你输出一个整数(A=sum_{i=1}^N{mu (i^2)});
请你输出一个整数(B=sum_{i=1}^N{varphi (i^2)});
Sample Input
1
Sample Output
1
1
Sol
第一问就是搞笑的,直接puts("1");
第二问其实也不难,只要掌握一个技巧:把约数限制转化成上界限制(莫比乌斯反演大多数都是这样的)
首先根据欧拉函数的定义,(varphi(i^2)=varphi(i)*i),原因是如果不是新的质因子那么贡献是p,新的质因子贡献是p-1,那么第二个i产生的贡献就全部都是p了,(prod{p}=i)。
然后继续推式子:
(F(n)=sum_{i=1}^{n}i*varphi(i))
这一步比较神:设(G(n)=n),那么F和G的狄利克雷卷积就是(sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}varphi(d)*d*frac{i}{d}=sum_{i=1}^{n}i^2=n*(n+1)*(2n+1)/6)
对于这个卷积式子,我们更换求和指标,消去约数限制,得:
(sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}varphi(d)*d*frac{i}{d}=sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}i*varphi(i)*d)
如果这一步把后面的i和d弄反了,其实转过来是等价的。
之后原式(=sum^{n}_{d=1}d*F(lfloorfrac{n}{d} floor))
设(S(n)=sum_{i=1}^{n}i^2),则(S(n)=sum_{d=1}^{n}d*F(lfloorfrac{n}{d} floor))
(S(n)=sum_{d=2}^{n}d*F(lfloorfrac{n}{d} floor)+F(n))
(F(n)=S(n)-sum_{d=2}^{n}d*F(lfloorfrac{n}{d} floor))
杜教筛标准形式。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,phi[1000005],pri[1000005],vis[1000005],tot;map<ll,ll>mmp;ll P=6000000042ll,sum[1000005];
ll s1(int l,int r){return 1ll*(l+r)*(r-l+1)%P/2;}
ll s2(int x){return 1ll*x*(x+1)%P*(2*x+1)%P/6;}
ll djs(int x)
{
if(x<=1000000) return sum[x];
if(mmp.count(x)) return mmp[x];
ll ans=s2(x),ls=0;
for(int i=2;i<=x;i=ls+1) ls=x/(x/i),ans=(ans-1ll*s1(i,ls)*djs(x/i)%P+P)%P;
mmp[x]=ans;return ans;
}
int main()
{
phi[1]=sum[1]=1;
for(int i=2;i<=1000000;i++)
{
if(!vis[i]){pri[++tot]=i;phi[i]=i-1;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=1000000;j++)
{
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
}
sum[i]=(sum[i-1]+1ll*i*phi[i]%P)%P;
}
scanf("%d",&n);printf("1
%d
",djs(n)%1000000007);
}
以上是关于bzoj2916神犇和蒟蒻 杜教筛的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章