双马尾机器人（？？？）

Posted 2020-12-26 yoyoball

Portal -->broken qwq

Description

　　?给定(n)和(k)，我们要在(1,2,3,...,n)中选择若干的数，每一种选择的方案被称为选数方案。

　　我们定义一种选数方案是合法的，当且仅当(k)没有被选，且任意两个选的数互质。

　　我们定义一种选数方案是极大的，当且仅当它是合法的，且不能再从剩下的数中选择任意一个，或者选的是(k)。

　　极大的选数方案的最小的选的个数。

　　数据范围：多组数据，数据组数(T<=50)，(1<=n<=1000,1<=k<=n)，(k)不是质数

Solution

　　这种互质的题有一个比较有效的方法，我们可以将每一个数的质因子分成两类，一类是(<=sqrt n)的，一类是(>sqrt n)的，不难注意到(>sqrt n)的质因子最多只能有一个

　　这题的话我们发现(<=sqrt n)的质数其实很少，只有(11)个，所以可以考虑状压

　　在dp之前我们要先想一下对于那些含有(>sqrt n)质因子的数要怎么处理，其实仔细想一下会发现比如说(>sqrt n)的质因子集合为({a_1,a_2,a_3...a_m})，那么最起码这(m)个数都要选，所以我们直接将这部分加到答案里面去就好了

　　那接下来我们就只用考虑不含(>sqrt n)质因子的数了

?　　记(f[i][j])表示前(i)个数中选出数的质因子的并的状态为(j)，(j)是一个二进制，表示选出来的数中都出现了哪些质数（按编号来存，比如(2)是第一个质数对应的状态就是(2^0)，(3)是第二个质数所以对应(2^1)，以此类推）

?　　假设我们当前考虑第(i)个数（也就是(i)啦。。）的转移，只有在(j)这个状态中不存在(i)的任意一个质因子的时候才可以将(i)选进来（不然就不互质了），我们用(st(i))表示(i)这个数的质因数的状态，那么也就是在(j&st(i))为(0)的时候有：
[ f[i][j|st(i)]=min(f[i-1][j|st(i)],f[i-1][j]+1-(i是否含有>sqrt n的质因数)) ]
?　　当(i)含有(>sqrt n)的质因数的时候要将其(-1)不算贡献是因为所有含有(>sqrt n)的数已经在最开始的时候加到答案里面去了（就是那个(m)个数），不能再选

?　　那最后的问题就是空间，滚动一下把第一维滚动掉就好了ovo

?　　然后的话就是需要预处理的东西有：质数表，每个数的质因数的状态，每个数的最大质因子（用来判断是否含有(>sqrt n)的质因数）

　　

?　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010,inf=2147483647;
int mxp[N],p[N],st[N],f[2][1<<12];
int vis[N];
int n,m,cnt,K,ans,all,T;
void prework(int n){
    mxp[1]=1; cnt=0; 
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!vis[i]){
            mxp[i]=i; p[++cnt]=i;
            st[i]=(i<=31?1<<cnt-1:0);
        }
        for (int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=n;++j){
            vis[i*p[j]]=true;
            if (i*p[j]==74)
                int debug=1;
            mxp[i*p[j]]=max(p[j],mxp[i]);
            st[i*p[j]]=st[i]|(p[j]<=31?st[p[j]]:0);
            if (i%p[j]==0) continue;
        }
    }
}
bool ok(int St,int x){return (St&st[x])==0;}
void solve(){
    m=1;
    while (p[m]<=n) ++m;
    --m;
    ans=max(0,m-11);
    m=min(m,11);
    all=1<<m;
    int now=1,pre=0;
    for (int i=0;i<all;++i) f[0][i]=inf;
    f[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        for (int j=0;j<all;++j) f[now][j]=f[pre][j];
        f[now][0]=0;
        for (int j=0;j<all;++j){
            if (!ok(j,i)) continue;
            if (((j|st[i])<all)&&f[pre][j]!=inf&&i!=K)
                f[now][j|st[i]]=min(f[pre][j|st[i]],f[pre][j]+1-(mxp[i]>31));
        }
        swap(now,pre);
    }
    printf("%d
",f[pre][all-1]+ans+(K!=1));
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    prework(1000);
    for (int o=1;o<=T;++o){
        scanf("%d%d",&n,&K);
        printf("Case #%d: ",o);
        solve();
    }
}