专题总结（博弈论）

Posted 2020-12-26 yanshannan

https://zybuluo.com/ysner/note/1232112

双人平等博弈（理论应用前提）

• 信息完全公开
• 双方轮流行动
• 面对同一局面,双方的决策集合相同
• 一般来说,规定不能操作者输

• 游戏局面不会成环,有限步之后游戏必定结束

  (N)态与(P)态

• 首先把结束的局面置为(P)态
• 对于一个(P)态,找到所有能转移到它的状态,它们全部是(N)态

• 搜到一个状态时,它还没有被筛掉,就是(P)态

很多题目中, P 态之间不可直接转移。

一些性质

• (SG)值异或和为(0)即后者胜，对应(P)态。
  证明：每当前者把异或和改变，使其不为(0)，后者总能把异或和重新变为(0)（拿掉相同数量的石子。并且这一定可行，否则异或和怎么为(0)？）。则最后一定是前者面对石子取完的情况。
  而若不为(0)，前者一开始把异或和变为(0)，之后与后者对着干（使异或和为(0)）即可。

• (SG(A+B)=SG(A)igoplus SG(B))

• 如果交换胜负条件，先手胜利：
  1、存在(SG(x)>1)，且异或和不为(0)
  2、(SG(x)=1)，且有偶数堆石子

  如何计算(SG)值

  总的来说，常规计算(SG)值是一个递推的过程。
  一般计算(推导）过程，就是对 所有前驱状态的(SG)值 的异或和取(mex)。

而根据上面提到的性质二，可以得到一个递推式：
((mex)表示取括号内不包含的 最小非负整数）[SG(x)=mex_{0leq i<x}(igoplus_{j=1}^iSG(j))]

应用场景

阶梯博弈

有(N)堆石子放在(N)层阶梯上，每次选择一层的若干石子,放入下一层。(特别地,(1)层的石子就被扔掉)

结论:计算所有奇数层石子数的异或和,得到整个游戏的(SG)

其实这玩意儿讲不完的，还得自己去看课件。

有趣的题目

模板题

• [X] nim游戏 戳

裸板子。

• [x] Bash游戏 戳

只有一堆，限制一次最多只能取(k)个石子。

则(SG[n]=n\\%(k+1))（不信可以递推试试）

中等题

• [ ] CF 731E 戳

• [ ] CF 794E 戳

• [X] [HEOI2014]人人尽说江南好 戳

• [ ] Alice和Bob又在玩游戏 戳

• [X] CF 768E 戳

• [ ] [ZJOI2009]取石子游戏 戳

(SG)函数相关

• [x] [ZJOI2009]染色游戏 戳

我在题解中写了一份SG计算教程？？？

• [ ] [HAOI2015]数组游戏 戳

• [ ] [HNOI2014]江南乐 戳

• [ ] CF 494E 戳

• [ ] CF 138D 戳

• [X] A tree game 戳