Luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋 | dp

Posted 2020-12-26 wozaixuexi

题目链接

30分：

爆搜。

50分：

可以发现，每行和每列最多都只能放两个象棋，考虑三进制状压dp，表示出每列放了多少个象棋（只能是0个，1个或2个），从上往下一行一行地处理即可。如果列数过于大的话，交换行数和列数再处理就行了，因为在50%的数据中，行数和列数中至少是有一个不超过8的。

100分：

通过思考，可以发现象棋的详细位置是不用知道的，我们只需知道有多少列没放象棋，有多少列放了一个象棋，有多少列放了两个象棋就行了。又因为知道了放了一个象棋的列数和放了两个象棋的列数就可以求出没放象棋的列数，所以我们只需记录后两个量即可。这样我们的状态就出来了：f[i][j][k]表示前i行，有j列放了一个象棋，k列放了两个象棋的摆放方案数，其中，没放象棋的列数就为(m-j-k)。

转移就很简单了，分几类讨论就可，算一算就出来了。

时间复杂度：O(nm²)。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
    using namespace std;
    const long long c=9999973;
    long long f[105][105][105];
int main()
{
    int n=0;
    long long m=0;
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;//初始化 
    for(int i=0;i<=n-1;i++)
        for(long long j=0;j<=m;j++)
            for(long long k=0;j+k<=m;k++)
            {
                //不放象棋 
                f[i+1][j][k]=(f[i+1][j][k]+f[i][j][k])%c;
                //放一个象棋，放在没有任何象棋的列上 
                f[i+1][j+1][k]=(f[i+1][j+1][k]+((m-j-k)*f[i][j][k])%c)%c;
                //放一个象棋，放在有一个象棋的列上 
                if(j>=1) f[i+1][j-1][k+1]=(f[i+1][j-1][k+1]+(j*f[i][j][k])%c)%c;
                //放两个象棋，都放在没有任何象棋的列上 
                f[i+1][j+2][k]=(f[i+1][j+2][k]+((m-j-k)*(m-j-k-1)/2*f[i][j][k])%c)%c;
                //放两个象棋，都放在有一个象棋的列上 
                if(j>=2) f[i+1][j-2][k+2]=(f[i+1][j-2][k+2]+(j*(j-1)/2*f[i][j][k])%c)%c;
                //放两个象棋，一个放在没有任何象棋的列上，一个放在有一个象棋的列上 
                if(j>=1) f[i+1][j+1-1][k+1]=(f[i+1][j+1-1][k+1]+((m-j-k)*j*f[i][j][k])%c)%c;
            }
    long long ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;i+j<=m;j++)
            ans=(ans+f[n][i][j])%c;//统计答案 
    printf("%lld",ans); 
    return 0;
}