全排列和康托展开

Posted 2020-12-26 dusf

一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

 

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

 

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)；其中X最常见的可以设为：0 <=X<=n!-1，第一个排列即123...n;该排列的X可设为0；

 

 适用范围：没有重复元素的全排列

 

二、全排列的编码：

 

{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

 

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

 

这样考虑，想知道321是第几个，只要知道321前面比它小的数有几个就可以了。

 

第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

 

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

 

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

 

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

 

解释：

 

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

 

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

 

以此类推，直至0*0!

 

#include<cstdio> 
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘 
   
int KT(int s[], int n) 
{ 
    int i, j, cnt, sum; 
    sum = 0; 
    for (i = 0; i < n; ++i) 
    { 
        cnt = 0; 
        for (j = i + 1; j < n; ++j) 
            if (s[j] < s[i]) ++cnt; 
        sum += cnt * fac[n - i - 1]; 
    } 
    return sum; 
} 
   
int main() 
{ 
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8}; 
    printf("%d
", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884  
} 

 

三、全排列的解码

如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

 

1. 首先用16-1得到15

 

2. 用15去除4! 得到0余15

 

3. 用15去除3! 得到2余3

 

4. 用3去除2! 得到1余1

 

5. 用1去除1! 得到1余0

 

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

 

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

 

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

 

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

 

最后一个数只能是2

 

所以排列为1 4 3 5 2

 

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘  
   
bool vis[10]; 
   
///n为ans大小，k为全排列的编码 
void invKT(int ans[], int n, int k) 
{ 
    int i, j, t; 
    memset(vis, 0, sizeof(vis)); 
    --k; 
    for (i = 0; i < n; ++i) 
    { 
        t = k / fac[n - i - 1]; 
        for (j = 1; j <= n; j++) 
            if (!vis[j]) 
            { 
                if (t == 0) break; 
                --t; 
            } 
        ans[i] = j, vis[j] = true; 
        k %= fac[n - i - 1];///余数 
    } 
} 
   
int main() 
{ 
    int a[10]; 
    invKT(a, 5, 16); 
    for (int i = 0; i < 5; ++i) 
        printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2 
}