矩阵快速幂

Posted 2020-12-26 hkttg

P1962 斐波那契数列

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入输出格式

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1： 

5

输出样例#1： 

5

输入样例#2： 

10

输出样例#2： 

55

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

——————————————————————————————————————————

100%的数据很大，普通线性求解效率很低，需要用矩阵快速幂加速。

 

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2;
const int MOD = 1e9 + 7;
LL n, m;

struct Node {
    LL g[N + 2][N + 2];
}f, res;

void matrixI(Node &x) {
    for (int i = 1; i <= N; ++ i) 
        for (int j = 1; j <= N; ++ j) {
            if (i == j) x.g[i][j] = 1LL;
            else x.g[i][j] = 0LL;
        }
}

void matrixMul(Node &x, Node &y, Node &z) {
    memset(z.g, 0, sizeof(z.g));
    for (int i = 1; i <= N; ++ i) 
        for (int j = 1; j <= N; ++ j) if (x.g[i][j]) {
            for (int k = 1; k <= N; ++ k) {
                z.g[i][k] += x.g[i][j] * y.g[j][k];
                if (z.g[i][k] >= m) z.g[i][k] %= m;
            }
        }
}

void matrixPow(LL k) {
    matrixI(res);
    Node temp = f, t;
    while (k) {
        if (k & 1) {
            matrixMul(res, temp, t);
            res = t;
        }
        matrixMul(temp, temp, t);
        temp = t;
        k >>= 1;
    }
}

LL solve() {
    if (n <= 2) return 1LL;
    matrixPow(n - 2);
    LL ret = res.g[1][1]*1 + res.g[2][1]*1;
    if (ret >= m) ret -= m;
    return ret;
}

int main() {
    cin >> n; m = MOD;
    f.g[1][1] = 1;
    f.g[1][2] = 1;
    f.g[2][1] = 1;
    f.g[2][2] = 0;
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

P1349 广义斐波那契数列

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p*an-1+q*an-2的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a1和a2，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项an除以m的余数。

输入输出格式

输入格式：

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整数范围内，n和m在长整数范围内。

输出格式：

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

输入输出样例

输入样例#1： 

1 1 1 1 10 7

输出样例#1： 

6

说明

数列第10项是55，除以7的余数为6。

code

本题是Fibonacci的扩展，更换单位矩阵即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2;
const int MOD = 1e9 + 7;
LL n, m;

struct Node {
    LL g[N + 2][N + 2];
}f, res;

void matrixI(Node &x) {
    x.g[1][1] = a2;
    x.g[1][2] = a1;
    x.g[2][1] = 0;
    x.g[2][2] = 0;
}

void matrixMul(Node &x, Node &y, Node &z) {
    memset(z.g, 0, sizeof(z.g));
    for (int i = 1; i <= N; ++ i) 
        for (int j = 1; j <= N; ++ j) if (x.g[i][j]) {
            for (int k = 1; k <= N; ++ k) {
                z.g[i][k] += x.g[i][j] * y.g[j][k];
                if (z.g[i][k] >= m) z.g[i][k] %= m;
            }
        }
}

void matrixPow(LL k) {
    matrixI(res);
    Node temp = f, t;
    while (k) {
        if (k & 1) {
            matrixMul(res, temp, t);
            res = t;
        }
        matrixMul(temp, temp, t);
        temp = t;
        k >>= 1;
    }
}

LL solve() {
    if (n == 1) return a1 % m；
    else if (n == 2) return a2 % m;
    matrixPow(n - 2);
    LL ret = res.g[1][1]*1 + res.g[2][1]*1;
    if (ret >= m) ret -= m;
    return ret;
}

int main() {
    cin >> p >> q >> a1 >> a2 >> n >> m;
    f.g[1][1] = p;
    f.g[1][2] = 1;
    f.g[2][1] = q;
    f.g[2][2] = 0;
    cout << res << endl;
    return 0;
}