BSGS算法 （小步大步 Baby Step Gaint Step）

Posted 2020-12-26 ezoilzh

当你要求满足：

$$ A^x equiv B (mod P) $$

的最小非负整数 x （gcd(A,P)==1）就可以用到 BSGS 了

设 $ m=sqrt{P} $ 向上取整

处理一下那个式子：

$$ A^{i imes m-j} equiv B (mod P) $$
$$ A^{i imes m} equiv B imes A^j (mod P) $$

 

枚举 j（0到m），将 B*A^j 存入hash表里面
枚举 i（1到m），从hash表中找第一个满足上面这条式子的 j
x=i*m-j 即为所求 （感性理解）

模板题： 【xsy 1754】 离散对数

Description

        给定B,N,P，求最小的满足B^L=N(mod P)的非负正数L。保证gcd(B,P)=1。

Input

        多组数据，每行三个空格隔开的整数P,B,N。

Output

        对于每组数据，输出答案。如无解，则输出"no solution"

CODE：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<unordered_map>
 5 using namespace std;
 6 
 7 int p,a,b;
 8 
 9 int qpow(int x,int y){
10     int ans=1;
11     while(y){
12         if(y&1)ans=1LL*ans*x%p;
13         y>>=1,x=1LL*x*x%p;
14     }
15     return ans;
16 }
17 
18 int BSGS(){
19     unordered_map<int,int> mp;
20     int m=ceil(sqrt(p)),tmp;
21     tmp=b;
22     for(int j=0;j<=m;j++)
23         mp[tmp]=j,tmp=1LL*tmp*a%p;
24     tmp=a=qpow(a,m);
25     for(int i=1;i<=m;i++){
26         if(mp.count(tmp))
27             return i*m-mp[tmp];
28         tmp=1LL*tmp*a%p;
29     }
30     return -1;
31 }
32 
33 int main(){
34     while(~scanf("%d%d%d",&p,&a,&b)){
35         int ans=BSGS();
36         if(~ans)printf("%d
",ans);
37         else printf("no solution
");
38     }
39 }

证明：

有这样一条式子：

证明了这个就搞定了

处理一下这个式子：

 

手头上的条件：gcd(A,P)=1
欧拉定理：

证完了OvO