专题字符串专题小结（AC自动机 + 后缀自动机）

Posted 2020-12-26 dance-of-faith

AC自动机相关：

 

后缀自动机相关：

求一个串的不重复子串个数。

这是后缀自动机上的一个经典问题，很多时候它都会作为解决一个问题的子问题。事实上这个问题很容易想到，每一个子串都别表现在了自动机上的一个节点，所有相同的子串只会被表现一次，重复的将算在$right$集合中了。每个节点包含的不重复子串个数就是$max_{i} - min_{i} + 1$连续的一段，把所有节点包含的不重复子串数量相加就行了。

$ans = sum_{i = 1}^{tot} dep_{i} - dep_{fa_{i}}$。

将所有子串按照字典序排序：

由于字典序是比较前缀的，通常情况我们把反串建出后缀自动机，那一个节点上表示的子串都有同样的后缀，对应了原串的前缀，那我们只要对反串进行后缀意义上的排序就可以了。很显然，一个节点中表示的所有子串一定在后缀字典序中是连续的。于是，我们对于$parent$树上每一个节点$x$，假设$y = fa_{x}$，$x$中最短的子串比$y$中最长的子串多的那个字符$a$一定会在$y$中最长串的前一格，那我们就定$son_{y,a} = x$。显然，$son$表示的就是一棵树，这棵树的$Dfs$序就是我们要求的对于每个节点而言的后缀字典序，因为我们在对它进行$Dfs$时会优先选择下一个字符较小的串。

以下给出具体建树的实现：

void Dfs(int t) {
  id[++tp] = t;
  for (int i = 0; i < 26; ++i) {
    if (son[t][i]) Dfs(son[t][i]);
  }
}

void Build() {
  for (int i = 1; i <= tot; ++i) ++bit[dep[i]];
  for (int i = 1; i <= tot; ++i) bit[i] += bit[i - 1];
  for (int i = tot; i >= 1; --i) id[bit[dep[i]]--] = i;
  for (int i = tot; i >= 1; --i) {
    int x = id[i];
    son[fa[x]][s[ed[x] - dep[fa[x]]] - ‘a‘] = x;
  }
  Dfs(1);
}

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（注：其中$ed_{i}$表示节点$i$表示的子串末尾字符的位置）

求出字典序第$k$小子串：

此处分两种，一种是算重复子串，一种是不算重复子串，本质上没有区别，如果算重复子串只要对每个节点多乘上$right$集合大小就可以了。

有了上一个模型，我们只要在$Dfs$后的序列上二分就可以了，维护一个前缀的$sum_{i}$表示前$i$个节点表示的子串有多少个，二分可以找到第$k$小子串所在的节点，就能知道是那个子串了。以上是不计重复子串的，如果算上重复子串，由于每个节点上的$right$集合大小是一样的，所以在计算子串个数时乘上$right$集合大小即可，另一个问题，如果不算重复子串，