[Sdoi2010]地精部落

Posted 2020-12-25 miracevin

题意：

给定一个n，询问有多少种1~n的排列，使得对于任意的一个位置上的数i，相邻位置上的数都比它大，或者都比它小。（两边位置只有一个相邻的位置）

 

题解：

这个题目实际上是POJ1037 的简单版。lyd书上有，还看过，做过，但是就tmd忘了（或者根本没有理解）

（看到的第一反应就是这个题目，但是立刻否决了。因为题目也记不清了。而且就算想下去估计也想不起来）

 

DP无疑。

先想到：f[i][j]表示，前i个数，最后一个数是j的方案数。但是，第i+1个数也可以放在前i个位置。

这就考虑不到了。

于是开始打表，推规律，无果。

于是根据表开始DP，理性分析：设f[i]表示，i个排列的合法解。

推1.5h，发现和i-1非法解有关，而i-1的非法解中的转移还不一样。还得往后推。。。。。

感叹了一句：“子子孙孙无穷匮也~~~”

然后看题解。找了找lyd的书。。。

 

正解：

定义：一个数比相邻的数都大，叫高位。反之叫低位。

设f[i][j][0/1]表示，用i个大小不同的数，填前i个位置，最后一个数，从小到大排在第j位，并且处于（0低位）（1高位）的方案数。

然后转移：

f[i][j][0]=f[i-1][p][1] (j<=p<=i-1)

f[i][j][1]=f[i-1][p][0] (1<=p<=j-1)

如果在i中排在第j位，一定比i-1中排在第j位的数小。（反证一下）

反之，i中j位数，一定比i-1中j-1位数大。

为什么转移是对的？？？

注意，i表示i个大小不同的数，j是相对的第j位，并不是绝对的。

这样设状态是因为，i个大小不同的数，无论是什么数，对于最后一位是j名，处于0/1位的情况，方案数都是一定的。（类似离散化思想。1,2,3,4 和100,200,300,400方案一样）

我们在第i位枚举的j，其实就是相当于枚举1~i中的j。

相当于，然后把其他的数都扔到前面i位去，它们随便排列（反正方案数和大小无关）只要最后一个名次，位置都对，就可以转移！！！

所以转移就是对的。

 

代码就不写了。没有难度了。

 

总结：

漂亮的思维题。

主要是在设置状态的时候，用离散化的思想，抓住了i个数排列的方式都是一样的。

就是说，是几不是几，题目无所谓，我们也不关心。我们需要的时候，相当于让它是几就是几。

这种“相对”设法，还要多思考，多总结。