除法求模中求逆元的两种方法

Posted 2020-12-25 maybe96

　　今天下午还是有点闲的，不想刷题，不想补题，突然想起昨天的training 3里I题涉及到除法取模的问题，就来总结一下

　　首先对于模运算来说，是没有对于除法的取模的（即没有(a/b)%mod==a%mod/b%mod），但是在很多题目中都涉及到除法取模，所以就必须要了解或者掌握，对于除法取模以(a/b)%mod来说，我们首先需要得到b的逆元，根据逆元的定理 对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

　　然后就是求逆元的两种方法。

　　第一种方法就是比较普遍的，也是挺基础的，就是通过费马小定理来求，但是要求mod必须是素数（一般题目中都会是1e9+7）。

　　费马小定理 ：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。

　　即可以得到a*a^(p-1)=1(%M）；

　　也是我们就可以将除法取模转化为乘法取模 (a/b)%mod==a*b^(mod-2)%mod,但是对于b^(mod-2)来说，也挺难算的，这里就需要用到快速幂。

　　最后贴上代码片段

　　

const long long mod=1e9+7;
long long power_mod(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 a*power_mod(b,mod-2,mod)%mod

　　第二种方法就是通过拓展欧几里得算法求逆元

　　

　　扩展欧几里得定理:对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

 

　　对于乘法逆元来说 a*x≡1（mod m） 也就等价于 a*x + m*y ==1 即当gcd（a，m）==1时就有拓展欧几里得定理，即求解这个方程解出的x就是a的逆元。

　　

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
    if(0 == b){
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int flag = x;
    x = y;
    y = flag - a/b * y;
}