倍增算法

Posted 2020-12-25 potatorain

　　在上一篇求LCA的文章中，我们使用了倍增的算法（可以认为是二分思想的逆用），在这里我们来简单了解一下倍增算法的思想。

　　有这样一个问题，现在有一个数字n，现在要求将n分解为2的幂之和（n = ∑(2⁰ + 2¹ + 2² + …… + 2^i-1 + 2ⁱ)），要怎么做？下面来介绍该怎么办，为了说明方便，我们假设n = 9 ，同时设定一个上限值16，也就是从2⁴（令k = 4）开始分解：

　　（1）9 < 2⁴, 说明k太大了，将k = k - 1，此时n = 9，k = 3，

　　（2）9 > 2³,令9 - 2³ = 1，继续将k = k - 1，此时n = 1，k = 2，

　　（3）1 < 2², 说明k太大了，继续将k = k - 1，此时n = 1，k = 1，

　　（4）1 < 2¹, 说明k太大了，继续将k = k - 1，此时n = 1，k = 0，

　　（5）1 = 2⁰,令1 - 2⁰ = 0，n分解完毕。

　　总结上面的步骤，可以知道9 = 8 + 1 = 2³ + 2⁰ 。将以上步骤一般化：，可以得到分解过程实际上就是一个在：预估一个k的上线，然后不断地判断n是否大于等于2^k，如果是则n -= 2^k，再对k--。以上步骤中有一点可以进行优化，对一个数进行位移操作，左位移就相当于乘以2，那么我们可以对1左位移k位来表示2^k这个数字。以上内容具体的实现代码如下：

　　

void doubly(int n)    //待分解的数
{
    int tmp = n;
        const int MAX = 20;    //幂的上限
    for(int i = 20; i >= 0; i--) 
    {
        if(tmp >= (1 << i))
        {
            tmp -= (1 << i);
        }
    }
}