Interstellar … Fantasy （计算几何）

Posted 2023-02-27 KaaaterinaX

第一个计算几何题，虽然是被giegie们随便秒掉的那种。

基本思路

这个题乍一看是三维的，但是再仔细看看发现可以把每次询问都看成一个平面问题，只要看每个点之间相对距离就行了。

拍扁成平面后：
情况1、

如果两点的连线不经过圆，那么直接计算就可以了。

情况2、
如果两点的连线经过圆

那么最短路径是
$|AM|+\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}}+|NB|$

直线和$l_{BN}$和$l_{AM}$是圆的切线。

怎么算呢。。。

首先我需要一个计算两点距离的函数。

//每个点用一个结构体存起来
struct node
    double x,y,z;
;
double D(node A,node B)
    //计算线段AB之间的距离
    double dx=A.x-B.x;
    double dy=A.y-B.y;
    double dz=A.z-B.z;
    double d=sqrt(dx*dx+dy*dy+dz*dz);
    return d;

如果算出$OA,OB,AB$的距离，就可以算出直线$AB$到圆心$O$的距离$d$，判断$d$与半径$R$的关系可以把情况分成上述的两种。

计算$d$需要用到海伦公式计算三角形的面积。

//海伦公式
double S(double a,double b,double c)
    double p=(a+b+c)/2;
    return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

然后通过勾股定理计算$|AM|$与$|BN|$的长度。

那这一小段弧呢？
—————可以通过计算夹角来算。

夹角怎么算呢？
—————计算$\angle AOB,\angle AOM,\angle BON$，运用余弦定理以及余弦定义式，分别计算几个角的$cos$值，再使用$acos()$函数得到弧度。

//余弦定理
double c_cos(double a,double b,double c)
    //返回a所对的边的夹角的余弦
    double res=(a*a+b*b-c*c)/(2*a*b);
    return res;

情况3、（WA在这了）
如果两个点的连线虽然经过圆，但是两个点都在圆的同侧。

这种情况的判断条件为
$\angle OAB$或者$\angle OBA$为钝角（运用余弦定理）

完整代码如下：

struct node
    double x,y,z;
;

double D(node A,node B)
    //计算线段AB之间的距离
    double dx=A.x-B.x;
    double dy=A.y-B.y;
    double dz=A.z-B.z;
    double d=sqrt(dx*dx+dy*dy+dz*dz);
    return d;


//余弦定理
double c_cos(double a,double b,double c)
    //返回a所对的边的夹角的余弦
    double res=(c*c+b*b-a*a)/(2.0*b*c);
    return res;


//海伦定理
double S(double a,double b,double c)
    double p=(a+b+c)/2;
    return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));


int main()
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        node O;//圆心
        scanf("%lf%lf%lf",&O.x,&O.y,&O.z);
        double r;//半径
        scanf("%lf",&r);
        node A,B;//给出的两点
        scanf("%lf%lf%lf",&A.x,&A.y,&A.z);
        scanf("%lf%lf%lf",&B.x,&B.y,&B.z);
        double dAB=D(A,B);
        double dOA=D(O,A);
        double dOB=D(O,B);
        double sOAB=S(dAB,dOA,dOB);
        double ld=sOAB*2.0/dAB;
        if(dAB==0)
            printf("%.8lf\\n",0.0);
            continue;
        
        if(ld>=r||dOA*dOA>=dOB*dOB+dAB*dAB||dOB*dOB>=dOA*dOA+dAB*dAB)
            printf("%.8lf\\n",dAB);
        
        else
            //计算角AOB的cos
            double cAOB=c_cos(dAB,dOA,dOB);
            //由勾股定理计算AM，BN的距离
            double dAM=sqrt(dOA*dOA-r*r);
            double dBN=sqrt(dOB*dOB-r*r);
            //计算角AOM和BON的余弦
            double cAOM=r/dOA;
            double cBON=r/dOB;
            //得到角MON的大小（弧度制）
            double jMON=acos(cAOB)-acos(cAOM)-acos(cBON);
            printf("%.8lf\\n",jMON*r+dAM+dBN);
        
    

小结：计算几何类题目，跟中学时期的几何题差不多，要懂得分类讨论。
思路必须清晰啊！！