Lucas 卢卡斯定理

Posted 2020-12-25 ezoilzh

Lucas：

卢卡斯定理说白了只有一条性质

$$ C^n_m equiv C^{n/p}_{m/p} imes C^{n mod p}_{m mod p} (mod p) $$

用于 m，n 很大时快速求组合数。（p 为质数）

CODE：

1 long long Lucas(long long n,long long m){
2     if(m==0)return 1;
3     if(n<m)return 0;
4     if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[n-m]%p*inv[m]%p;
5     return Lucas(n/p,m/p)*Lucas(n%p,m%p)%p;
6 }

 证明：

前置技能：二项式定理

对于任意质数p，根据费马小定理有：

然后我们把(1+x)^n这个式子处理一下：

然后同时我们还有：

观察一下两个式子x的m次方的系数，可以得到：

然后我们回到最开始的递归形式的那个式子，会发现…… 就证完了OvO

( 引用自 hy 大佬课件)