欧拉筛

Posted 2020-12-25 cute-hzy

欧拉筛可以(O(n))筛素数，其本质是拿每个合数的最小质因子把这个合数筛掉。

void prime(int m) {
    memset(flag, 1, sizeof flag);
    cnt = 0;
    for(int i=2; i<=m; i++) {
        if(flag[i]) pr[++ cnt] = i;
        for(int j=1; j<=cnt && i * pr[j] <= m; j++) {
            flag[i * pr[j]] = 0;
            if(i % pr[j] == 0) break ;
        }
    }
}

例题1

题意

给定一个长度为(n)((n)<=(10^5))的序列(a) ((a_i <= 10^6))，求最长的满足(prod_{i=l}^{r} a_i = lcm(a_l, a_{l+1}, ldots, a_{r-1}, a_r))的子段长度.

题解

欧拉筛线性筛出每个数的最小质因子，(x)的最小质因子在(pr)中的下标记为(f(x))，即(x)的最小质因子为(pr_f(x))。

然后从(1)到(n)开始，记录右端点(r)，尝试把(a_r)质因数分解加进去，直到加不进去，更新答案，把左端点向右移动一位。由于左右端点始终单调递增，复杂度(O(n))。总的复杂度应该是预处理和求解：(O(m+n log m))，m表示(a_i)的上限(10^6)。因为质因数分解需要log的复杂度，每次除去最小质因子，直到(1)。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN = 100010;
const int MAXA = 1000010;

int n, a[MAXN], f[MAXA];
bool flag[MAXA];
int pr[MAXA], k[MAXA], cnt;

void prime(int m) {
    memset(flag, 1, sizeof flag);
    cnt = 0;
    for(int i=2; i<=m; i++) {
        if(flag[i]) pr[++ cnt] = i, f[i] = cnt;
        for(int j=1; j<=cnt && i * pr[j] <= m; j++) {
            flag[i * pr[j]] = 0;
            f[i * pr[j]] = j;
            if(i % pr[j] == 0) break ;
        }
    }
}

bool valid(int x) {
    while(x > 1) {
        if(k[ f[x] ]) return false;
        x /= pr[f[x]];
    }
    return true;
}

void add(int x, int v) {
    while(x > 1) {
        k[ f[x] ] += v;
        x /= pr[f[x]];
    }
}

int main() {
    prime(1e6);
    int T; scanf("%d", &T);
    for(int Case = 1; Case <= T; ++ Case) {
        int ans = -1;
        scanf("%d", &n);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        int r = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            while(r < n && valid(a[r + 1])) add(a[++ r], 1);
            ans = max(ans, r - i + 1);
            add(a[i], -1);
        }
        if(ans < 2) ans = -1;
        printf("Case %d: %d
", ans);
    }
    return 0;
}

例题2：[51 Nod] 1643

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待填坑。