力扣 每日一题 862. 和至少为 K 的最短子数组难度：困难，rating: 2306（前缀和+单调队列）

Posted 2023-02-27 nefu-ljw

题目链接

https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/

题目来源于：第91场周赛 Q4 rating: 2306

思路（简单版本：假如数组不包含负数）

我们首先做一下这题的简单版本【209. 长度最小的子数组】。

假如数组中不包括负数，全部为正整数。那么可以用双端队列（deque）直接维护前缀和（前缀和用于求指定左右端点的区间和）的单调递增区间，队列中的元素存储的是数组的下标。

具体做法是：遍历整个数组，每次先把队首弹出直到不满足区间和>=target的条件，同时记录满足区间和>=target的区间长度（队首到队尾的距离），然后加入当前下标到队尾。

class Solution 
    static const int N=1e5+10;
    deque<int> q;
    int sum[N];
public:
    int minSubArrayLen(int target, vector<int>& nums) 
        int n=nums.size();
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[i]=sum[i-1]+nums[i-1];
        
        int mi=N;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            while(!q.empty()&&sum[i]-sum[q.front()]>=target)
                // [q.front()+1,i]区间和>=target
                mi=min(mi,i-q.front());
                q.pop_front();
            
            q.push_back(i);
        
        return mi==N?0:mi;
    
;

这一过程可以简化为双指针，不用前缀和数组sum[]以及队列deque，从而降低空间复杂度到O(1)，但时间复杂度仍为O(n)。

思路（本题：数组包含负数）

这题麻烦的地方在于数组中包含负数，使得前缀和不再单调递增。但我们可以想办法维护放入队列的下标 i 对应的前缀和 sum[i] 依然单调递增。

为了做到这一点，考虑在加入当前下标 i 到队列之前，弹出不影响后续答案的元素。

• 结论：假设 sum[i] 的前面有一些 sum[j] （j < i），满足$sum[j]>=sum[i]$，那么这些 j 被弹出并不会影响答案。
• 证明：因为后续在计算满足条件的最小区间长度时，这些 i,j 都是作为区间的左端点，假设右端点为 r，则$sum[r]-sum[i]>=sum[r]-sum[j]$。那么如果 $sum[r]-sum[j]>=k$ 则一定有 $sum[r]-sum[i]>=k$。这也就意味着，那些更靠前的 j 可以被 i 替代，i 不仅更靠后，能使得区间更短，而且还能使得区间和更大，所以就可以放心的弹出 j 了。

具体到代码实现中，就是弹出sum[q.back()]>=sum[i]的队尾元素来维护单调队列。画一个例子方便理解：

上图中 i=2 时，将会弹出大于sum[2]（即47）的队尾元素84。此时队列中元素为0, 2，对应的前缀和为0, 47。

代码

typedef long long ll;
class Solution 
    static const int N=1e5+10;
    deque<int> q;
    ll sum[N];
public:
    int shortestSubarray(vector<int>& nums, int k) 
        int n=nums.size();
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[i]=sum[i-1]+nums[i-1];
        
        int mi=N;
        for(int r=0;r<=n;r++)
            while(!q.empty()&&sum[r]-sum[q.front()]>=k)
                // 满足题目要求 [q.front()+1,r]区间和>=k
                // 弹出队首，使得区间大小尽量缩短
                mi=min(mi,r-q.front());
                q.pop_front();
            
            while(!q.empty()&&sum[q.back()]>=sum[r])
                // 维护单调性，弹出大于等于当前元素的所有队尾
                // 这样操作之后就能让[q.front,q.back]单调递增，那么在队尾之后再加入一个当前元素也单调递增
                q.pop_back();
            
            q.push_back(r);
        
        return mi==N?-1:mi;
    
;

/*
[84,-37,32,40,95]
167
ans: 3
*/