92 背包问题

Posted 2020-12-25 tang-tangt

原题网址：https://www.lintcode.com/problem/backpack/description

描述

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

你不可以将物品进行切割。

您在真实的面试中是否遇到过这个题？  是

样例

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

挑战

O(n x m) time and O(m) memory.

O(n x m) memory is also acceptable if you do not know how to optimize memory.

标签

背包问题

LintCode 版权所有

动态规划(DP)

 

思路：

背包问题是动态规划的一种题型，它的特点如下：

1. 用值作为dp维度
2. dp过程就是填写矩阵
3. 可以用滚动数组进行优化  转自此文

dp【i】【j】表示前 i 个物品放到容量为 j 的背包里能够占用的最大体积。

状态转移方程为：dp【i】【j】= max（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-A【i】】+A【i】）。

每个物品只有两种状态，放或者不放。对于容量为 j 的背包，放入第 i-1 件物品后占用的最大体积为dp【i-1】【j】，现在考虑第 i 件物品。

不放，dp【i】【j】=dp【i-1】【j】；

放，需要从 j 中腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，即dp【i】【j】=A【i】+ dp【i-1】【j-A【i】】。（注意前提是 j >= A【i】）

最后的dp【i】【j】就是上述两种情况的较大值。

 

AC代码：

class Solution {
public:
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    int backPack(int m, vector<int> &A) {
        // write your code here
    if (A.empty())
    {
        return 0;
    }
    int size=A.size();
    vector<vector<int>> dp(size,vector<int>(m+1,0));
    //初始化第一行,即只有第一个物品时,若背包容量大于等于A[0],放物品能占用的最大空间为A[0];
    for (int j=0;j<=m;j++)
    {
        if (j>=A[0])
        {
            dp[0][j]=A[0];
        }
    }
    //计算dp其他元素;
    for (int i=1;i<size;i++)
    {
        for (int j=0;j<=m;j++)
        {
            if (j>=A[i])//能放A[i],计算此时的最大体积，注意是大于等于;
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-A[i]]+A[i];
            }
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j]);
        }
    }
    return dp[size-1][m];
    }
};

 

PS：状态转移方程简而言之就是，背包容量为 j 时，能放得下 i 就腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，二者之和与不放 i 能占用的最大体积比，哪个大就取哪个；放不下就直接看0~i-1能占用 j 的最大容量是多少；

 

参考：

lintcode backpack 背包问题

lintcode：背包问题

【LintCode】Backpack 背包问题

LintCode背包问题总结  总结了一系列背包问题，可以好好参考。