浅谈泰勒展开

Posted 2020-12-25 genius777

我们学习泰勒展开，本质上就是为了在某个点附近，用多项式函数取近似其他函数。可能有些童鞋就要问了，既然有一个函数了，为什么还需要用多项式函数取进行近似，理由就是多项式函数具有非常多优良的性质。

比如说，多项式函数既好计算，也好求导，还好积分，等等一系列的优良性质。

好，本质已经说完了，下面给出P(x)在x=0处的泰勒展开表达式，然后再进行仔细分析。

 

上面的文字表述用下面的slides总结：

 

可以推出c0=1,在图上表示就是0处的两者函数值相同，都为1，如下：

 

既然泰勒展开的目的是在某处，两者的函数近似相同，那么我们不应该仅仅满足于函数值相同，我们让在x=0处的两者一阶导数相同，岂不更好!

这样我们得到了一个新的等式条件，如下：

那么我们很自然的就会想到是否还能够找到一个限制条件，构建一个等式，将c2 也求出来，因为c0,c1就是这么求出来的。

对的，就是这个思路，我们让两者在x=0处的二阶导数也相等，相当于再加强一个限制，你既然要近似，就要近似的越多越好~如下图

根据上面表达式很容易求出,c2=-1/2

于是我们得出，在x=0处，近似cosx的二次多项式表达式为：

那么到现在的解释和一开始给的泰勒展开式子，是否有了一定的感觉呢？

我们其实在某处的泰勒展开，就是让两者的函数在该处的函数值相等，一阶导相等，二阶导相等，...n阶导相等（因为你要近似，当然是越接近越好，所有的性质都相等最好）。如下图：

上图就是在x=0处的泰勒展开式，分母的阶乘仅仅是为了抵消对次幂求导后的连乘。

如果不是在x=0处展开，比如在 a处展开，也是一样的。如下图：

 

以前一直以为B站就是一个很浪的地方，看来是在下错了。。。