并不对劲的图论专题：SPFA算法的优化

Posted 2020-12-25 xzyf

1.bzoj1489->

这是个新套路。

我们希望找到最小的x，那么可以二分x，然后判断是否存在圈的边权的平均值小于等于x。

设圈的边权依次为w₁，w₂，w_3，…，w_k，平均值为p，

则有p= (w₁+w₂+w_3+…+w_k)/k ，

可以推出p*k=w₁+w₂+w_3+…+w_k，

这样就会有(w₁-p)+(w₂-p)+…+(w_k-p)=0，

当p≤x时，就会有(w₁-x)+(w₂-x)+…+(w_k-x)≤0。

这样，可以通过把所有边的边权都改为w-x，然后通过判断负环得出存在圈的边权的平均值小于等于x。

代码，不知为何常数极大：

 #include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#define maxn 3010
#define maxm 10010
#define eps 1e-10
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(isdigit(ch)==0 && ch!=‘-‘)ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    int f=0;char ch[20];
    if(!x){puts("0");return;}
    if(x<0){putchar(‘-‘);x=-x;}
    while(x)ch[++f]=x%10+‘0‘,x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar(‘
‘);
}
int fir[maxn],nxt[maxm],v[maxm],cnt,n,m,inf[5],vis[maxn],yes;
double mid,ans,L,R,dis[maxn],w[maxm];
void ade(int u1,int v1,double w1){v[cnt]=v1,w[cnt]=w1,nxt[cnt]=fir[u1],fir[u1]=cnt++;}
void dfs(int u)
{
    if(yes)return;
    for(int k=fir[u];k!=-1;k=nxt[k])
    {
        if(dis[v[k]]>dis[u]+(w[k]-mid))
        {
            dis[v[k]]=dis[u]+(w[k]-mid);
            if(vis[v[k]]){yes=1;return;}
            vis[v[k]]=1,dfs(v[k]),vis[v[k]]=0;
        }
        else if(dis[v[k]]==dis[u]+(w[k]-mid)){if(vis[v[k]]){yes=1;return;}vis[v[k]]=1,dfs(v[k]),vis[v[k]]=0;}
    }
}
int check()
{
    yes=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)dis[j]=0.0,vis[j]=0;
        dfs(i);
        if(yes)break;
    }
    return yes;
}
int main()
{
    memset(inf,31,sizeof(inf));
    memset(fir,-1,sizeof(fir));
    n=read(),m=read();L=10000000.0,R=-10000000.0;
    for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();double z;scanf("%lf",&z);R=max(z,R),L=min(z,L);ade(x,y,z);}ans=R;
    while(fabs(R-L)>eps)
    {
        mid=(L+R)/2.0;int f=check();
        //cout<<L<<" "<<mid<<" "<<R<<endl;
        if(f)ans=ans<mid?ans:mid,R=mid-eps;
        else L=mid+eps;
    }
    printf("%.8lf",ans); 
    return 0;
}

2.bzoj1715->

判负环就ok。

说个小技巧：一开始将所有点的距离设为0，而不是正无穷，这样遇到负数才会更新。

说另一个小技巧：将bfs改成dfs，在判负环时可能会更优秀，但是有可能被卡，比如上一题。

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#define maxn 505
#define maxm 6010
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(isdigit(ch)==0 && ch!=‘-‘)ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    int f=0;char ch[20];
    if(!x){puts("0");return;}
    if(x<0){putchar(‘-‘);x=-x;}
    while(x)ch[++f]=x%10+‘0‘,x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar(‘
‘);
}
int T,n,m,ww,fir[maxn],dis[maxn],nxt[maxm],v[maxm],w[maxm],vis[maxn],cnt,yes;
void ade(int u1,int v1,int w1){v[cnt]=v1,w[cnt]=w1,nxt[cnt]=fir[u1],fir[u1]=cnt++;}
void reset(){memset(fir,-1,sizeof(fir)),memset(vis,0,sizeof(vis));cnt=yes=0;}
void dfs(int u)
{
    if(yes)return;
    for(int k=fir[u];k!=-1;k=nxt[k])
    {
        if(dis[v[k]]>dis[u]+w[k])
        {
        //  cout<<dis[v[k]]<<" "<<dis[u]<<" "<<u<<" "<<v[k]<<endl;
            dis[v[k]]=dis[u]+w[k];
            if(vis[v[k]]){yes=1;/*cout<<v[k]<<endl;*/break;}
            vis[v[k]]=1;
            dfs(v[k]);
            vis[v[k]]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        reset();
        n=read(),m=read(),ww=read();
        for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),z=read();ade(x,y,z),ade(y,x,z);}
        for(int i=1;i<=ww;i++){int x=read(),y=read(),z=read();ade(x,y,-z);}
        for(int i=1;i<=n&&!yes;i++){memset(dis,0,sizeof(dis));vis[i]=1;dfs(i);vis[i]=0;}
        puts(yes?"YES":"NO");
    }
    return 0;
}

3.vijos1053->

板子题，代码就不贴了。

说下SLF优化：如果有一个点的距离被更新时，小于队列当前队首的距离，那么就把它放到队首。

它的依据在于，不存在负权边的情况下，队首的元素比它大，更新的点不会比它更优，也就是类似dijkstra的贪心。

但是，存在负权边时，这个优化就变得玄学了。比如点x入队时，队首y的距离大于x的，将x放在队首。但是存在一条y->x的负权边，在算y时又更新了x的距离，就让x额外入队了一次。

 

今天的超链接图是银火龙呢。