数学知识：逆元卡特兰数

Posted 2020-12-25 czktransformers

一、逆元

递推逆元

这是别人博客上的证明，来源于：https://blog.csdn.net/rain722/article/details/53170288。

下面是ACdreamers关于递推求解逆元的推导过程（个人觉得他的更好）

 

 

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

 

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

 

 

 

                   

 

 

 

它的推导过程如下，设，那么

 

 

 

       

 

 

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

 

 

       

 

 

 

再把和替换掉，最终得到

 

 

 

       

 

 

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

 

 

 

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

 

由此，线性筛逆元的代码诞生了：（洛谷3811 AC）

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long inv[3000004],n,modd;
void dt()
{
    inv[1]=1;
    for(long long i=2;i<=n;i++) inv[i]=((-(modd/i)*inv[modd%i])%modd+modd)%modd;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&modd);
    dt();
    for(long long i=1;i<=n;i++)printf("%lld
",inv[i]);
    return 0;
} 

 

二、卡特兰数

1.简介
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比
利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,
16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...  ————度
娘

应用：

洛谷1044 栈

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long ans[20];
int n;
void catelanshu(int n)
{
    long long a=0;
    for(int i=0;i<=n-1;i++)
    {
        a=a+ans[i]*ans[n-1-i];
    }
    ans[n]=a;
}
int main()
{
    ans[0]=1;ans[1]=1;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)catelanshu(i);
    cout<<ans[n];
    return 0;
}