简单数论总结2——同余方程与扩展欧几里得算法

Posted 2020-12-25 dreagonm

在上一次总结过后鸽了没多久其实是快要开学赶紧来肝上两篇

今日内容——同余方程和扩展欧几里得算法

同余

同余的定义：若存在两个整数a，b，使得(a - b) MOD P为0，则称作a与b在MOD P的情况下同余

换种通俗的说法，就是，a MOD P与b MOD P相等

 

记作  ( aequiv b (mod P) )

对于整数a，b，c和自然数m，n

同余具有以下性质：

1. 自反性：( aequiv a (mod P) )
2. 对称性：若存在( aequiv b (mod P) ) ，则 ( bequiv a (mod P) )
3. 传递性：若存在( aequiv b (mod P) ) ，( bequiv c (mod P) )， 则 ( aequiv b (mod P) )
4. 同加性：若( aequiv b (mod P) )，则 ( (a+c)equiv (b+c) (mod P) )
5. 同乘性1：若( aequiv b (mod P) )，则 ( (a*c)equiv (b*c) (mod P) )
6. 同乘性2：若( aequiv b (mod P) ) ， ( cequiv d (mod P) )，则 ( (a*c)equiv (b*d) (mod P) )
7. 同幂性：若( aequiv b (mod P) )，则 ( (a^c)equiv (b^c) (mod P) )

　　由此，我们可以得到两条推论

1. 　　( (a*b)mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k )
2.        若( a mod p = x ,a mod q = x，p、q互质，则a mod p*q =x )

 　　但是，相信像我一样睿智的你也发现了一个问题，没错，同余不满足同除性，即不满足若( aequiv b (mod P) )，则 ( (a/c)equiv (b/c) (mod P) )

　　那么除法取模要如何解决呢，秃顶聪明绝顶的数学家也发现了这个问题，利用逆元的知识，我们就可以解决这个问题啦！

　　但是逆元，我决定下次再讲，其实就是鸽了（咕咕咕）

扩展欧几里得算法

　　欧几里得算法相信大家都已经知道了QwQ

　　就是求gcd的辗转相除法

　　不知道的可以去看我的上一篇文章（理直气壮的骗访问量QwQ）

　　那么扩展欧几里得算法是啥？（黑人问号.jpg)

 

　　扩展欧几里得算法就是利用了欧几里得算法中迭代的过程，使其能够求出形如( ax + by = gcd(a , b) ) 的方程的应用

　　我们可以简单的证明和感性理解一下扩展欧几里得算法的正确性：

　　

　　首先，当欧几里得算法停止迭代时

　　有此情况 ( a=1，b=0,此时,gcd(a,b)=x,ax+by = gcd(a,b)显然成立 )

　　在迭代的过程中

　　有 ( b{x}‘ + (a mod b) {y}‘ = gcd(b, a%b) )与 ( ax + by = gcd(a, b) )

　　则由上一层推出

　　( x= {y}‘ )，( y={x}‘-a/b*{y}‘ )

　　于是可推至初始情况，得出解

　　

　　下面给出代码的实现 

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd ( b , a % b , x ,y );
    int t = x;
    x = y;
    y= t - a / b * y;
    return ans;
}

　　就是这样喵

对扩展欧几里得定理的应用

　　利用扩展欧几里得定理，我们能够求解形如( ax+by = c )的问题

　　当 (c mid gcd(a,b) )时，有( ax+by = c )的不定方程有整数解

　　所以，把原式变形为 ( ax+by = d (d = gcd(a,b) ) )的形式，利用扩展欧几里得定理可解出方程的一组解( (x,y) )，再将其乘以 ( frac{c} {gcd(a,b)} )

　　就能解出原方程的解啦！（快夸我.jpg）

 

对扩展欧几里得定理求出解的处理

　　由于形如 ( ax+by = c ) 的线性不定方程有无穷多解，扩展欧几里得定理进行求解的过程中，不一定保证求出的是最小正整数解，为得到最小正整数解，我们有如下的方式 

　　易推出，对于线性不定方程 (  ax+by = c )，有一组解(x，y) 与另一组解 ( a*(x + frac {a*t} {gcd(a,b)}) ，b*(y- frac {b*t} {gcd(a,b)} | (tin mathbb{Z})) )都为原方程的解

　　则可得出方法：对于线性不定方程 (ax+by = c ) ，其最小正整数解为( (  x= ( (x\%t)+t)\%t) ，(t=b/gcd(a,b)))，( y=(((y\%t)+t)\%t) ，(t=a/gcd(a,b)) ) )

　　至此，问题得到了解决