算法-百钱买白鸡

Posted 2020-12-25 bky-nll

 　　百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，

用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

　　分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，那么我们可以得出如下的不定方程

          x+y+z=100,

          5x+3y+z/3=100,

下面再看看x，y，z的取值范围，由于只有100文钱，则5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y，好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。

 1 public static void main(String[] args) {
 2         //公鸡的上线
 3         for (int x = 1; x < 20; x++) {
 4             // 母鸡的上线
 5             for (int y = 1; y < 33; y++) {
 6                 // 剩余小鸡
 7                 int z = 100 - x - y;
 8                 if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100)) {
 9                     System.out.println("公鸡"+ x+",母鸡"+y+",小鸡"+z);
10                 }
11             }
12         }
13     }

运行结果：

公鸡4,母鸡18,小鸡78
公鸡8,母鸡11,小鸡81
公鸡12,母鸡4,小鸡84

　　结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N²),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让人接受的是O(N)。

所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里来，肯定需要我们

推算一下这个不定方程：

    x+y+z=100           ①

    5x+3y+z/3=100    ②

 令②x3-① 可得

    7x+4y=100

 =>y=25-(7/4)x          ③

又因为0<y<100的自然数，则可令

     x=4k                     ④

将④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

将④⑤代入①可知

=> z=75+3k              ⑥

要保证0<x，y，z<100的话，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码：

1 int x, y, z;
2 for (int k = 1; k <= 3; k++){
3     x = 4 * k;
4     y = 25 - 7 * k;
5     z = 75 + 3 * k;
6     System.out.println("公鸡"+ x+",母鸡"+y+",小鸡"+z);
7 }

运行结果：

公鸡4,母鸡18,小鸡78
公鸡8,母鸡11,小鸡81
公鸡12,母鸡4,小鸡84

这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错吧。