有向图传递闭包
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了有向图传递闭包相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
目录
有向图的传递闭包是Floyd warshall 算法的一种应用(主要参考算法导论)
传递闭包的定义
对于有向图G(V,E)的传递闭包即是G(V,E),其中E{(i,j):图G中包含一条由i到j的路径}。
Floyd warshall 传递闭包算法
Floyd warshall 代码
void floyd_warshall()
{
int tmp;
for(int k = 1; k <= n; ++k)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
//松弛操作;
{
tmp = mp[i][k] + mp[k][j];
if(tmp < mp[i][j])
{
mp[i][j] = tmp;
}
}
}
}
}
}
算法实现原理
由于我们只需要确定节点对(i,j)之间是存在i->j的路径,所以,对于松弛操作可以有两种优化方式,
(1)将所有节点对之间的存在的直接连通的边权重设为1,不连通设为INF(无穷大)。然后运行该算法,如果mp[i][j] < n;则(i,j)之间存在一条简单路径。如果mp[i][j] = INF,则两者之间不存在路径。
(2)可以将松弛策略改为,mp[i][j] == 1|| (mp[i][k] ==1 && mp[k][j] == 1)也即是要么,i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j,要么i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j,可以参考对Floyd warshall 算法的分析链接。
Floyd warshall 传递闭包算法的实现
void floyd_warshall()
{
for(int k = 1; k <= n; ++k)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if(mp[i][j] == 1 || mp[i][k] == 1 && mp[k][j] == 1)
{
mp[i][j] = 1;
}
}
}
}
}
时间复杂度
容易知道时间复杂度为O(V^3);
DFS 传递闭包算法
算法分析
DFS时间复杂度为O(V+E);
使用对每个节点进行DFS,每次可以得出一个节点的可以到达的节点,可以求出有向图的传递闭包,时间复杂度为V*O(V+E),即O(V*(V+E));
如果图的边数较少时,第二种算法更有效,可以根据题目的数据约束进行选择。
代码实现
int vis[N][N];//vis[i][j]表示i->j可达
void dfs(int s)//普通的dfs算法
{
int num = n;
stack<int> st;
st.push(s);
vis[s][s] = 1;
while(!st.empty())
{
int now = st.top();
st.pop();
int len = ed[now].size();
for(int i = 0;i < len; ++i)
{
if(vis[s][ed[now][i]] == 0)
{
st.push(ed[now][i]);
vis[s][ed[now][i]] = 1;
}
}
}
}
例题
Cow Contest
通信网络可以在CCF csp 官网进行提交练习。
如有错误,恳请指正。
以上是关于有向图传递闭包的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
POJ-3660.Cow Contest(有向图的传递闭包)
UVa 247 - Calling Circles(Floyd求有向图的传递闭包)