有向图传递闭包

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了有向图传递闭包相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

目录

有向图的传递闭包是Floyd warshall 算法的一种应用(主要参考算法导论)

传递闭包的定义

对于有向图G(V,E)的传递闭包即是G(V,E),其中E{(i,j):图G中包含一条由i到j的路径}。

Floyd warshall 传递闭包算法

Floyd warshall 代码

void floyd_warshall()
{
    int tmp;
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                //松弛操作; 
                { 
                    tmp = mp[i][k] + mp[k][j];
                    if(tmp < mp[i][j])
                    {
                        mp[i][j] = tmp;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

算法实现原理

由于我们只需要确定节点对(i,j)之间是存在i->j的路径,所以,对于松弛操作可以有两种优化方式,
(1)将所有节点对之间的存在的直接连通的边权重设为1,不连通设为INF(无穷大)。然后运行该算法,如果mp[i][j] < n;则(i,j)之间存在一条简单路径。如果mp[i][j] = INF,则两者之间不存在路径。
(2)可以将松弛策略改为,mp[i][j] == 1|| (mp[i][k] ==1 && mp[k][j] == 1)也即是要么,i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j,要么i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j,可以参考对Floyd warshall 算法的分析链接

Floyd warshall 传递闭包算法的实现

void floyd_warshall()
{
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                if(mp[i][j] == 1 || mp[i][k] == 1 && mp[k][j] == 1)
                {
                    mp[i][j] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

时间复杂度

容易知道时间复杂度为O(V^3);

DFS 传递闭包算法

算法分析

DFS时间复杂度为O(V+E);
使用对每个节点进行DFS,每次可以得出一个节点的可以到达的节点,可以求出有向图的传递闭包,时间复杂度为V*O(V+E),即O(V*(V+E)); 
如果图的边数较少时,第二种算法更有效,可以根据题目的数据约束进行选择。

代码实现

int vis[N][N];//vis[i][j]表示i->j可达 
void dfs(int s)//普通的dfs算法
{
    int num = n;
    stack<int> st;
    st.push(s);
    vis[s][s] = 1;
    while(!st.empty())
    {
        int now = st.top();
        st.pop();
        int len = ed[now].size();
        for(int i = 0;i < len; ++i)
        {
            if(vis[s][ed[now][i]] == 0)
            {
                st.push(ed[now][i]);
                vis[s][ed[now][i]] = 1;
            }
        }
    }   
}           

例题

Cow Contest
通信网络可以在CCF csp 官网进行提交练习。

如有错误,恳请指正。




以上是关于有向图传递闭包的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

在逐步构建有向图的同时更有效地计算每个依赖项的传递闭包

POJ-3660.Cow Contest(有向图的传递闭包)

Warshall算法求传递闭包及Python编程的实现

UVa 247 - Calling Circles(Floyd求有向图的传递闭包)

[bzoj2208][Jsoi2010]连通数_bitset_传递闭包floyd

POJ2594 Treasure Exploration(最小路径覆盖+传递闭包)