矢量运算_向量积

Posted 2020-12-24 adgk07

　　向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。

 

计算

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egin{equation*}
vec{a}=left(a_x,a_y,a_z ight)qquad vec{b}=left(b_x,b_y,b_z ight) \
egin{array}{rl}
vec{a} imesvec{b}=&varepsilon_{ijk}vec{e_i}a_j b_k \
=&left[egin{array}{ccc}
 0 & -a_3 & a_2 \
a_3 & 0 & -a_1\
-a_2 & a_1 & 0
end{array} ight]
left[egin{array}{c}
b_1 \ b_2 \ b_3
end{array} ight]\
=&left(a_y b_z-a_z b_y ight)vec{i}+left(a_z b_x-a_x b_z ight)vec{j}+left(a_x b_y-a_y b_x ight)vec{k}
end{array}
end{equation*}

 

力学例子

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　　假设一个刚体绕定轴转动，设转动的角速度 [rad/s] 用矢量 $vec{omega}left(t ight)$ 表示，其大小表示转动快慢，方向为这个轴所在的方向，右手定则确定轴的正负方向。对于离轴距离为 $vec{r}$ 的点而言，存在瞬时线速度：

$$vec{v}left(t ight)=vec{omega}left(t ight) imesvec{r}left(t ight)$$

由公式可见，即使定常转速，只要离轴矢量 $vec{r}$ 变化，线速度就会变化。同时，观察等式两端的量纲，不难发现 $vec{omega} imes$ 类似于时间微分算子。这是因为角度与矢量的乘积仍为矢量所造成的：

$$vec{omega} imesvec{r}=limlimits_{Delta t o 0}dfrac{Delta vec{vartheta}}{Delta t} imesvec{r}=limlimits_{Delta t o 0}dfrac{Delta vec{vartheta} imes vec{r}}{Delta t}$$

注意到，上式中的 $vartheta$ 是个矢量。想来角度应是一个标量，但是为什么是矢量呢？实际上，我们讨论角度时都是在一个二维平面上讨论的，在三维空间中讨论角度时，必须借助一个平面来确定我们说的角度所在平面，这个平面的法向矢量就是角度的方向。

　　对于一个角速度 $vec{omega}$ 矢量端图轨迹沿定轴转动 $vec{omega}^prime$ 的运动而言，角速度加速度有：

$$vec{varepsilon}=vec{omega}^prime imesvec{omega}$$

可以得到推论，对于一个矢量 $vec{a}$，如果其矢量端图的轨迹是沿定轴转动 $vec{omega}_aleft(t ight)$ 的话，该矢量随时间变化率有：

$$dfrac{partial vec{a}}{partial t}=vec{omega}_a imesvec{a}$$

 

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感觉自己在胡说八道。

其实并不是。

END