6674. 2020.05.30省选模拟凸包的价值

Posted 2020-12-24 jz-597

题目

平面上有若干个点，选出个点集，要求这个点集是一个凸包（凸包上没有三点共线）。
这个点集的价值为(xa^{x}b^{y}c^{z})，其中(x)为凸包的顶点数，(y)为凸包内或凸包边界上的点数，(z)为不在凸包内的点数。
题目保证(b=a+c)
求所有满足条件的点集的价值和。
(nleq 2000)

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正解

比赛看到后直接认为这是个毒瘤题，所以没有思考。

看到(b=a+c)这个奇妙的东西，应该去想想这个价值的组合意义是什么。
(xa^xb^yc^z=xsum_{i=0}^ya^{x+i}c^{z+y-i}=xsum_{i=0}^ya^{x+i}c^{n-x-i})
大力思考一下，这个东西等价于什么呢？
是个正常人都想不到这个相当于选一个点集，这个点集中每个点的贡献为(a)，不在点集内的点的贡献为(c)，然后贡献乘上这个点集作出的凸包的边数。
更加形象：一个点有(b)种状态，其中(a)种状态为(1)，(c)种状态为(0)，贡献为所有选(1)的点作出的凸包的边数和。

既然贡献为边数和，那么可以考虑分别计算每条边的贡献。
对于一条边，如果它在凸包上，那么它的一边全部选(0)，另一边至少选一个(1)。
对边进行极角排序，维护一下它左手向和右手向的点分别有多少个，然后计算。
注意仔细考虑一下三点共线的情况。

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总结

这题没有写代码……

在看到奇怪的式子时，总是要去想想它的组合意义，然后套一些可以恰好计算那么多次的算法。