原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
贝叶斯滤波三大概率
- 先验概率
- 似然概率
- 后验概率
离散情况下的贝叶斯滤波
全概率公式:(P(T_m=10.3)=P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)+P(T_m=10.3|T=11)P(T=11))
其中(P(T_m=10.3|T=10))是似然概率(代表传感器精度),(P(T=10))是先验概率(已经开始假设了),所以(P(T_m=10.3))为常数。
(P(T_m=10.3))与T的取值无关,仅与T的分布律有关。T = 10,T = 11代表随机试验的一个结果,结果不会影响到分布律
所以就可以改写贝叶斯公式:
即:
求(eta)(归一化方法):
连续情况下的贝叶斯滤波
求(eta)(归一化方法):
似然概率与狄拉克函数
X:状态 Y:观测
重要定理:
若(f_X(x) ightarrow N(μ_1,sigma^2)),(f_{Y|X}(y|x) ightarrow N(μ_2,sigma_2^2)),则:
可继续推出:
随机过程的贝叶斯滤波
1~5讲,X先验,Y观测,仅有一个X,一个观测Y
随机过程(X_0 ightarrow X_1 ightarrow…… ightarrow X_k)有一个初值(X_0),有k个观测值(y_1,y_2,……,y_k),怎么办?
-
所有的(X_0, ……, X_k)的先验概率都靠猜
-
缺点:过于依赖观测(似然),放弃了预测(先验)信息
例如:(X_k=2X_{k-1}+Q_k) (X_k=X_{k-1}^2+Q_k)
-
-
只有(X_0)的概率是猜的,(X_1,……,X_k)得先验概率是递推的
怎么做?
- 马尔科夫假设,观测独立假设
- 状态方程,观测方程(建模)
分两步:
- 预测步:上一时刻的后验( ightarrow)这一时刻的先验(通过状态方程得到)
- 更新步:这一时刻的先验( ightarrow)这一时刻的后验/下一时刻的先验
即:(X_0 ightarrow X_1^- ightarrow X_1^+ ightarrow X_2^- ightarrow X_2^+……)
贝叶斯滤波很大的缺点:从(f_{k-1}^-)到(f_k^-),算(eta)、期望都要进行无穷积分,大多数情况下无法得到解析解。
解决:
- 作假设
- (f(X_{k-1})、h(X_k))为线性,(Q_k,R_k)为正态高斯分布(卡尔曼滤波)
- (f(X_{k-1})、h(X_k))为非线性,(Q_k,R_k)为正态高斯分布(扩展卡尔曼滤波,即EKF、UKF等)
- 霸王硬上弓,直接对无穷积分作数值积分
- 高斯积分(不常用)
- 蒙特卡洛积分(粒子滤波Particle Filter)
- 直方图滤波
贝叶斯滤波算法
原料:
-
(X_k=f(X_{k-1})+Q_k)
-
(Y_k=h(X_k)+R_k)
其中:(X_k、X_{k-1}、Y_k、Q_k、R_k)都是随机变量
-
假设:(X_0,Q_1,……,Q_k,R_1,……,R_k)相互独立
-
有观测值:(y_1,y_2,……,y_k),设初值(X_0->f_0(k),Q_k->f_{Q_k}(x),R_k->f_{R_k}(x))
-
重要定理:条件概率里的条件可做逻辑推导
计算步骤:
初值: (X_0 ightarrow f_0^+(x))
预测:(f_k^-(x)= int_{-infty} ^{+infty} {f_Q[x-f(v)]f_{k-1}^+(v)}dv)
更新:(f_k^+(x)=eta f_R[y_k-h(x)]f_k^-(x))
其中:(eta = (int_{-infty}^{+infty}f_R[y_k-h(x)])^{-1})
估计:(hat x_k^+= int_{-infty}^{+infty}xf_x^+(x)dx)
贝叶斯滤波的实现之卡尔曼滤波
- Filter问题:请用计算机生成一个含正态噪声的信号,并用Kalman Filter滤波
- Sensor Fusion传感器融合:
使用matlab、C、C++、python
tips:
- 使用矩阵形式而不是一阶
- F、H可以不是方阵,阶数也可以不相同
- 泰勒展开
粒子滤波
应用广泛,原理最复杂,术语最多
适用环境:静态环境,动态可预测环境 。如:电池电量估算,视频跟踪,封闭环境导航(激光雷达+pf slam)
缺点:无穷积分,一般无解析解
粒子滤波完整算法:
- 给初值(X_0 ightarrow N(μ,sigma^2));
- 生成(x_0^{(i)},w_0^{(i)}= frac1n);
- 预测步,生成(x_1^{(i)}=f(x_0^{(i)}+v,v)为(N(0,Q))的随机数,共(n)个;
- 更新步,设观测值为(y_1),生成(w_1^{(i)}=f_R[y_1-h(x_1^{(i)})]*w_0^{(i)});
- 将(w_1^{(i)})归一化,(w_1^{(i)}=frac {w_1^{(i)}}{sum w_1^{(i)}});
- 此时,得到新的粒子(x_1^{(i)}),新的权重(w_1^{(i)});
- 再由预测步生成(x_2^{(i)}=f(x_1^{(i)})+v);
- 再由更新步生成(w_2^{(i)}=f_R[y_2-h(x_2^{(i)})]w_1^{(i)}),归一化;
- 如此递推……
粒子滤波总结:
- 由大数定律,暗示了(pdf)可由带权重(简单地理解为平均值)的粒子表示;
- 粒子数量,粒子位置,粒子权重完全决定了(cdf)(概率分布函数),同时即决定了(pdf)(概率密度函数);
- 预测步改变粒子位置;
- 更新步更新粒子权重。
以上是关于原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I(贝叶斯滤波)
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I(贝叶斯滤波)
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I(贝叶斯滤波)