ACM-数学基础知识1

Posted 2020-12-21 whiteblue

详细的知识点关键字可参考：https://blog.csdn.net/weixin_43093481/article/details/82229718
一.整除:
1.若a|b <=> -a|b <=> a|-b <=> |a| | |b|
2.若a|b，b|c => a|c
3.若a|b，a|c => a|(bx+cy) 其中x，y为任意整数
4.若a|b => am|bm 其中m为非零整数
5.若a|b，b|a => b=±a <=> |b|=|a|
6.若a|bc，且a与c互质，则a|b
7.若a|b，a|c，且b与c互质，则a|bc
8.若a|b，c为任意整数，则b|ac
9.对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础
10.若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。
累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
二.同余：
(a,b)代表最大公约数,[a,b]代表最小公倍数
m|(a-b) <=> a≡b (mod m)
a=pm+r  (0<=r<m)
b=qm+r  (0<=r<m)
由此可以推出：
性质1：a≡a（mod m），（反身性）显然性质。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
证明 ：m|(a-b) , m|(c-d) 设 a-b=km c-d=lm (ac-bd)=klm^2+(b+d)m =>m|(ac-bd)  
性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m），（其中n为自然数）。
证明 ： m|(a-b) => m|n*(a-b) 
性质7：若ac≡bc（mod m），(c，m)=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
证明 ： m|c(a-b) d=(m,c)=>m/d|(a-b) => a≡b（mod m/d）=>当 d=1时 即（c,m）=1上面结论成立
性质8：若a≡b（mod m），那么a的n次方和b的n次方也对于m同余   
证明 ：a^n-b^k=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b.....b^(n-1)) +m|(a-b) ==>m|(a^n-b^n)
性质9：若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2).... a≡b(mod mi) 则 a≡b(mod [m1,m2,..mi])
证明：m1 |(a-b) m2|(a-b) ..mi|(a-b)  =>[m1,m2...mi]|(a-b) (因为 a-b里面含了 m集合的所有因子和每个因子的最大个数)
三.剩余系：
1.剩余类：设m∈N*，将全体整数对m取模。将所有余数为r(0<=r<=m-1)的整数都整合到同一个集合中，记为Sr,则Sr称为模m的剩余类。显然有Sr中任意元素a,b都关于模m同余。
2.完全剩余系：在模m的所有剩余类中任取一数得到的集合称为模m的完全剩余系。
3.简化剩余系：对于一Sr，若Sr中的元素与m互质，则称Sr是与m互质的剩余类。从所有φ（m）个互质剩余类任取一数则构成m的一简化剩余系。
四.组合数：
各种性质推荐参考：https://blog.csdn.net/litble/article/details/75913032
五.素数：
1.素数的唯一分解定理：略。
2.素数筛法：
　　(1)朴素算法：O（sqrt(n)）枚举因子。
　　(2)埃式筛法：对于一个合数n，他一定是小于他的某个素数的倍数。算法为：标记每个素数i的倍数记为非素数，遍历到没被标记的数便为素数。
　　(3)线性筛素数：显然埃式筛法不是最优,一个合数可能被多个素因子筛到。线性筛法避免了重复筛一个合数。
　　　　　　线性筛法的关键思想：让每个合数只被他的最小素因子筛到。
　　　　　　算法：设prime[]数组储存了当前遍历到i时筛出的小于i的所有素数，对于当前遍历的i，若i为合数，他一定被之前某个合（素）数*他的最小质因子所筛，若i为素数，之前没有i
的最小质因子，显然没有被筛到。
　　　　　　　　　而对于当前的i，我们要考虑i这个数对后面筛数时的贡献。假设p为i的最小质因子，显然对于i这个数，只有2-p范围内的素数可以作为新合数的最小质因子，直接循环prime
[j],筛出i*prime[j],终止条件为i%prime[j]==0,此时i的贡献已算完。
　　　　　　　　　如何证明该算法使每个合数都被筛到了呢？给一个简单的证明：显然对于每一个素数i，遍历1-（i-1）时i不可能被筛到，因此prime数组一定包含所有素数(即证明prime数
组中无合数)，而对于每个合数n一定可以写成p*x的形式,p为最小质因子，显然
　　　　　　　　  p存在于prime数组中，而x<n,则算x的贡献时一定筛出了n，即该算法遍历到n时且n是合数时，他一定被筛到了，因此所有合数都会被筛到。
　　　　　　　　　由于每个数只被他的最小质因子筛到了，该算法的复杂度为O(n)。
3.欧拉函数:记φ(n)为1-（n-1）中与n互素的数的个数。如φ(8)=4,集合为{1,3,5,7};
性质1:若i为素数，则φ(i)=i-1。
性质2:欧拉函数是积性函数：(m,n)=1,则φ(mn)=φ(m)*φ(n)。
证明：构造一个m×n的矩阵如下：
1　　　　　　　　2　　　　　　　　3　　　 ...　　　　n
n+1　　　　　　 n+2　　　　　　  n+3      ...        2n
2n+1　　　　　 2n+2              2n+3     ...        3n
 .　　　　　　　 .　　　　　　　  .　　　 ...　　　　 .

 .　　　　　　　 .　　　　　　　  .　　　 ...　　　　 .

 .　　　　　　　 .　　　　　　　  .　　　 ...　　　　 .
(m-1)n+1    (m-1)n+2         (m-1)n+3     ...        mn
显然每一行都是n的完全剩余系,又有(kn+i,n)=(i,n),则每一列都是n的一个剩余类，且每一行可以取出含有φ(n)个数的 n的简化剩余系。
若每一列都是m的完全剩余系,那么每一列也可以取出m的简化剩余系，显然与n的所有简化剩余系求交可以得到φ(m)*φ(n)个数，这些数x有:(x,m)=1,(x,n)=1 =>(x,mn)=1,则显然φ(mn)可积。
经过分析，现在只需证明每一列都是m的一个完全剩余系。用反证法：取出第i列的数i,n+i,2n+i......(m-1)n+i,若非完全剩余系则一定存在p,q且p!=q使得pn+i≡qn+i（mod m）=>pn≡qn（mod m）=>m|n(p-q)
又∵(m,n)=1 =>m|(p-q)而0<|p-q|<m,故不成立，因此不存在p,q使得某2个数模m同余，因此每一列都是模m的一个完全剩余系，故φ(mn)可积成立。
性质3:（用来线性求欧拉函数与线性筛素数结合即可）
情况①：若i%p！=0，p为质数,则φ(i*p)=(p-1)*φ(i)
证明：显然有(i,p)=1，由性质2可得。
情况②：若i%p==0,p为质数，则φ(i*p)=p*φ(i)
证明：即p是i的素因子，对于数j满足(j,i*p)=1，只需满足(j,i)=1即可，对于i的简化剩余系S中的任意一数Sk，再取任意一数Sk+t*i,0<=t<p,显然(Sk+t*i,i)=1,这些数一共有p*φ(i)个，故原式成立。
有了性质③，在线性筛素数时，可以顺便把素数和被筛到的合数的φ给求出来。
性质4:p为素数，φ(p^k)=（p-1）*p^(k-1)。
证明：显然不与p^k互质的数为p,2p,3p……p^(k-1)*p,则φ(p^k)=p^k-p^(k-1)化简可得。
性质5:φ（n）=n*(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm),其中pi是n的素因子。如φ（8）=8*（1-1/2）=4。
证明：若n=p1^k1*p2^k2……pm^km,由可积性可得φ(n)=φ(p1^k1)*φ(p2^k2)……φ(pm^km)=(p1-1)p1^(k1-1)*(p2-1)p2^(k2-1)*……(pm-1)pm^(km-1)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm),证毕。
性质6:n中与n互质的和为φ(n)/2*n。
证明：这是显然的。∵ （a,n）=1 且a<n那么一定有(n-a,n)=1,且有φ(n)一定为偶数，那么这个式子就显然成立了。
补充：n的约数和为多少？Sum=(1+p1+p1^2+……p1^k1)(1+p2+p2^2+……p2^k2)……(1+pm+pm^2+……pm^km)。等比数列可再次化简。
　　　　　　　证明：最朴素的算法Sum=Σ p1^(0~k1)*p2(0~k2)*……pm(0~km)。每个素因子的系数任意取，显然可以写成以上的乘积形式，两式含义相同。
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