P3000 [USACO10DEC]Cow Calisthenics G

Posted 2020-12-21 wondering-world

二分 + (dp) 的好题。

首先，要求最大直径最小，我们肯定会想到二分最大直径。 难点就在于怎么 (check)。由于正确性过于显然，二分可行性证明就略了吧。

记录数组 (dp_u) 表示在 (u) 号点，其子树中所有点到达 (u) 号点的最大链长。转移时，考虑其和子树之间的关系。

可以发现，(u) 号点就类似于一个 (lca)，两个最长的儿子拼起来的最长链就是这棵子树的最大直径。注意，这里的 (dp_v) 中所存最长链均已保证子树内部合法。

接着考虑子树中直径超过二分的上限怎么办？贪心地想，我们肯定是要断掉最长的那条链，保留次长的。因为这样可以使得我们的总长度尽可能小，从而达到最优次数。
最后，如果必须断边的次数大于上限 (s), 则不合格，应该调大区间，否则一定合格。想一想为什么。（题目中不是要求我们断掉 (s) 条边吗）

具体实现看代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000010
const int inf = 2e9; 

template <class T>
inline void read(T& a){
    T x = 0, s = 1;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) s = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + (c ^ ‘0‘); c = getchar(); }
    a = x * s;
    return ; 
}

struct node{
    int v, next;
} t[N << 1];
int f[N];

int bian = 0;
inline void add(int u, int v){
    t[++bian] = (node){v, f[u]}, f[u] = bian;
    return ; 
}

int n, s;
int dp[N];
int sum = 0;   // 断了多少次 

void dfs(int now, int father, int lim){
    int maxn = 0, minn = inf; 
    for(int i = f[now]; i; i = t[i].next){
        int v = t[i].v;
        if(v == father) continue; 
        dfs(v, now, lim); 
        if(dp[v] + maxn > lim) sum++, maxn = min(maxn, dp[v]);   // 保留最小值
        else maxn = max(maxn, dp[v]);     // 否则更新成最大值
    }
    dp[now] = maxn + 1; 
    return ; 
}

bool check(int lim){
    sum = 0;   // 记得清空 
    dfs(1, 0, lim);
    return sum <= s; 
}

int main(){
    read(n); read(s); 
    for(int i = 1; i < n; i++){
        int x, y;
        read(x), read(y);
        add(x, y); add(y, x); 
    }
    int l = 1, r = n, ans = 0;   // 最多断 n 次 
    while(l <= r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) ans = mid, r = mid - 1;
        else l = mid + 1; 
    }
    cout << ans << endl;
    return 0; 
}