E. Number of Simple Paths(环基树 + 思维)

Posted 2020-12-21 waryan

Codeforces Round #686 (Div. 3)E. Number of Simple Paths

题意

给你n个点n条边的图，让你求树上的简单路径数。

简单路径：从a->b的方法，需要注意的是1->2>3,3->2->1算一种

思路

显然建成后的图是一棵树多了一条边，这种图又叫环基树。

从下图开始分析该题：

我们假设这个环的每一个点都是一棵树，我们建图。

在每个以环上的点为根的树上的任意两个点只有(C_n^2)的取法

其他的任意两个点间的取法都是有两种路径共计(C_n^2 * 2)。

我们先假设任意两个点间都有两种到达方法那么，(ans = C_n^2)

然后我们再减去只有一种方法的路径，即为所求。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
//#define int long long
const int maxn = 2e5 + 10;
int deg[maxn], bfs[maxn];
vector<int>edge[maxn];

int f[maxn], num[maxn];
void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = i; num[i] = 1;
    }
}

int find(int x) {
    return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}

bool Union(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if (fx == fy) return 0;
    if (num[fx] > num[fy]) swap(fx, fy);
    num[fy] += num[fx];
    f[fx] = fy;
    return 1;
}

bool is_root(int x) {
    return f[x] == x ? 1 : 0;
}

void solve() {
    int n; cin >> n;
    init(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        deg[i] = 0; edge[i].clear();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        edge[u].push_back(v);
        edge[v].push_back(u);
        ++deg[u]; ++deg[v];
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (deg[i] == 1) {
            bfs[++cnt] = i;
            --deg[i];
        }
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        int u = bfs[i];
        for (auto v : edge[u]) {
            --deg[v];
            Union(u, v);
            if (deg[v] == 1) {
                bfs[++cnt] = v;
            }
        }
    }
    LL ans = n * (n  - 1LL);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (is_root(i)) {
            ans -= num[i] * (num[i] - 1LL) / 2;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}


signed main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
}