2020.11.16提高组模拟序列翻转 题解

Posted 2020-12-21 send-off-a-friend

【2020.11.16提高组模拟】序列翻转 题解

题目简述

求一个(01)串经过k次以下的操作有多少种方案数。其中，操作(A)和(B)按照不同顺序进行（(AB)、(BA)）视其为不用的操作，即使(AB)互相不干扰。

定义合法序列：形如(10101...10101)的串，(i)维的合法串长度为(2i+1)。

操作方法：对一个合法序列中的所有(01)取反。

数据范围

	(type)	(nle)	k
(1)	(1)	(6)	(le n)
(2)	(1)	(10)	(le n)
(3)	(1)	(17)	(le n)
(4)	(1)	(20)	(le n)
(5)	(1)	(23)	(le n)
(6)	(1)	(23)	(le n)
(7)	(2)	(40)	(le n+1)
(8)	(2)	(40)	(le n+1)
(9)	(2)	(60)	(le n+1)
(10)	(2)	(60)	(le n+1)
(11)	(2)	(60)	(le n+1)
(12)	(2)	(80)	(le n+1)
(13)	(2)	(100)	(le n+1)
(14)	(2)	(110)	(le n+1)
(15)	(2)	(110)	(le n+1)
(16)	(2)	(120)	(le n+1)
(17)	(2)	(120)	(le n+1)
(18)	(2)	(500)	(=n+1)
(19)	(2)	(1000)	(=n+1)
(20)	(2)	(5000)	(=n+1)
(21)	(2)	(10^5)	(=n+1)
(22)	(2)	(10^7)	(=n+1)
(23)	(2)	(10^9)	(=n+1)
(24)	(2)	(10^{18})	(=n+1)
(25)	(2)	(10^{18})	(=n+1)

题意分析

首先看到这道题目的数据范围十分有趣，可以大做文章。

Subtask1

(type=1,nle23)

显然暴力将(n^2*2^n)的爆搜进行状压写成(dp)即可通过。

Subtask2

(type=2,n,kle120)

(n)比较小，那么我们可以暴力区间(dp)。

我们对一串(10101...)枚举一段区间，反转。

可以观察之后，串变成了三个不互相干扰的独立串。

所以可以分开做。

但是这样是(n^3cdot k^3)的。

考虑优化。

只要枚举被反转的区间的左端点在哪里即可。

设g(x)表示左端点(x)被砍了一刀，但是右端点不知道在哪的方案数。（右区间要枚举）

最后合并即可。

Subtask3

(type=2,nle 10^{18},k=n+1)

打表可以发现答案就是(1*3*5*7*...*(2k-1))

即

[Pi_{i=1}^n2i+1 ]

证明也很简单玄学。每一次取出一段合法序列操作时，都会将这一个序列减少一个1。进行(n+1)次操作后，整个序列一定是全0的了。接着用组合数拆开、乘法原理乘起来就好。

但是直接阶乘无法通不过(n=10^{9})。

其实当(modle 2i+1)时，这个连乘的式子中会有一个998244353。

又因为998244353是一个质数，所以(1 imes3 imes... imes998244353 imes998244355 imes...=0)！（这个!不是阶乘哈）

中间的数据还是会T，分块打表即可。