loj2765 - 冒泡排序 题解

Posted 2020-12-21 ycx-akioi

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根据结论，冒泡排序交换次数就是逆序对数。

考虑交换 (l,r)，那么逆序对数会减少一些。显然只需要考虑 (l/r) 与 ([l,r]) 内部元素组成的逆序对的增减，((l,r)) 还要去重，不难列出逆序对增加个数（就是减少个数的相反数）的式子：

[-grt(l,r,a_r)+lss(l,r,a_r)-lss(l,r-1,a_l)+grt(l,r-1,a_l) ]

前缀和展开：

[egin{aligned}-Grt(r,a_r)+Grt(l-1,a_r)&+Lss(r,a_r)-Lss(l-1,a_r)\-Lss(r-1,a_l)+Lss(l-1,a_l)&+Grt(r-1,a_l)-Grt(l-1,a_l)end{aligned} ]

计算使得这个式子最小的 ((l,r))。考虑惯用套路：从左到右扫 (r)，然后维护当前 (r) 情况下的基于 (l) 的式子序列。我们令这 (8) 项分别 ((1)sim (8))，则不难发现 ((1),(3),(6),(8)) 仅关于一个变量，脚趾头都能维护。((5),(7)) 可以在 (r) 上升的过程中，维护一个基于（离散化后的）值域的线段树区间加。那么 ((2),(4)) 呢？似乎不太可做了。

这时候我们要坚定信念，认为自己的 DS 水平没问题（并不是），肯定是要什么特殊性质才能维护。显然 (a_l>a_r) 的时候交换才会使得那个式子为负，那么直觉告诉我们对 (i<j(a_i>a_j))，交换 ((i,r)) 一定比交换 ((j,r)) 好。其实也很好证：交换 ((i,r)) 相当于先交换 ((j,r)) 再交换 ((i,j)) 再交换 ((j,r))，而其中提及的每次交换都满足式子为负，所以 ((i,r)) 肯定减少的更多。对 (r) 的讨论同理。这便是一个 nice 的性质了。

这样子有效的 (l,r) 从左到右分别都是递增的。于是 ((5),(7)) 的维护中基于值域和基于下标便是等价的了，只需要二分找到对应下标。那么 ((2),(4)) 呢？注意到 (a_r) 单调增，于是任意一个数是否对 ((2),(4)) 有贡献（若有贡献那么显然贡献的是一个后缀）也是关于时间单调的，装个桶到时候添加 / 删除一下即可。

式子很难推，代码很难写。