6861. 2020.11.14提高组模拟终末作战

Posted 2020-12-21 jz-597

问(n)的排列，满足不超过(k+1)段极长的连续段组成，这里的连续段定义为相邻两个数的差值绝对值不超过(1)。

(nle 2*10^5)

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设恰好(k)段组成的方案数为(f_k)，至多(k)段组成的方案数为(g_k)。

显然有(g_k=[x^{n}](frac{2x}{1-x}-x)^kk!)。化下式子得(g_{k}=k!sum_{i=0}^k2^i(-1)^{k-i}inom{k}{i}inom{n-k+i-1}{i-1})。可以卷。

（用另一种方法可能推出(g_k=g!sum_{i=0}^kinom{k}{i}inom{n-i-1}{k-1})，但是它似乎卷不了……）

为了方便将(f)和(g)的下标左移。

列出式子(g_k=sum f_{i}inom{n-1-i}{k-i})，发现它不是普通的二项式反演，魔改成(g_k(n-1-k)!k!=sum (f_i(n-1-i)!i!)inom{k}{i})发现可以反演了。

卷一下即可。

其实这里最恶心的地方，在于有些直接卷的时候可能有些地方会出现((-1)!)，于是需要特殊处理一下。。

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 524288
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
int nN;
int re[N];
void setlen(int n){
	int bit=0;
	for (nN=1;nN<=n;nN<<=1,++bit);
	for (int i=1;i<nN;++i)
		re[i]=re[i>>1]>>1|(i&1)<<bit-1;
}
void dft(int A[],int flag){
	for (int i=0;i<nN;++i)
		if (i<re[i])
			swap(A[i],A[re[i]]);
	static int wnk[N];
	for (int i=1;i<nN;i<<=1){
		ll wn=qpow(3,flag==1?(mo-1)/(2*i):mo-1-(mo-1)/(2*i));
		wnk[0]=1;
		for (int k=1;k<i;++k)
			wnk[k]=wnk[k-1]*wn%mo;
		for (int j=0;j<nN;j+=i<<1)
			for (int k=0;k<i;++k){
				ll x=A[j+k],y=(ll)A[j+k+i]*wnk[k];
				A[j+k]=(x+y)%mo;
				A[j+k+i]=(x-y)%mo;
			}
	}
	for (int i=0;i<nN;++i)
		A[i]=(A[i]+mo)%mo;
	if (flag==-1){
		ll invn=qpow(nN);
		for (int i=0;i<nN;++i)
			A[i]=A[i]*invn%mo;
	}
}
void multi(int c[],int a[],int b[],int n){
	static int A[N],B[N];
	setlen(n*2);
	memset(A,0,sizeof(int)*(nN));
	memset(B,0,sizeof(int)*(nN));
	for (int i=0;i<=n;++i)
		A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	dft(A,1),dft(B,1);
	for (int i=0;i<nN;++i)
		A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mo;
	dft(A,-1);
	for (int i=0;i<=n*2;++i)
		c[i]=A[i];
}
ll pw2[N],fac[N],ifac[N];
void init(int n){
	pw2[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		pw2[i]=pw2[i-1]*2%mo;
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
int n,k;
int a[N],b[N],f[N],g[N],F[N],G[N];
int main(){
	freopen("fight.in","r",stdin);
	freopen("fight.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);	
	init(n);
	for (int i=0;i<=n;++i){
		if (i>0) a[i]=pw2[i]*ifac[i]%mo*ifac[i-1]%mo;
		if (i<n) b[i]=(i&1?mo-1:1)*ifac[i]%mo*fac[n-i-1]%mo;
	}
	multi(g,a,b,n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		g[i]=g[i]*fac[i]%mo*fac[i]%mo*ifac[n-i]%mo;
	g[n]=(g[n]+(n&1?mo-1:1)*fac[n]%mo)%mo;
	for (int i=0;i<n;++i)
		G[i]=g[i+1]*fac[n-1-i]%mo*fac[i]%mo;
	for (int i=0;i<=n;++i){
		a[i]=G[i]*ifac[i]%mo;
		b[i]=(i&1?mo-1:1)*ifac[i]%mo;
	}
	multi(F,a,b,n);
	for (int i=0;i<n;++i)
		F[i]=F[i]*fac[i]%mo;
	for (int i=0;i<n;++i)
		f[i]=F[i]*ifac[n-1-i]%mo*ifac[i]%mo;
	ll ans=0;
	for (int i=0;i<=k;++i)
		ans+=f[i];
	ans%=mo;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}