hdu 6868

Posted 2020-12-21 grice

题意

(T)组数据((n,m))
令(f(n)=sumlimits_{d|n}|mu(d)|)
求(sumlimits_{i=1}^m f(ni))
(Tle 10^4,n,mle 10^7)

做法

显然(f(n))是积性函数
则(f(ni)=frac{f(n)f(i)}{f((n,i))})
构造(g=frac{1}{f}*mu)，则(frac{1}{f}=g*I)
(sumlimits_{i=1}^m f(ni)=sumlimits_{i=1}^mfrac{f(n)f(i)}{f((n,i))}=f(n)sumlimits_{i=1}^m f(i)sumlimits_{d|(n,i)}g(d)=f(n)sumlimits_{d|n}g(d)sumlimits_{i=1}^{frac{m}{d}}f(id))

这里的(g)性质非常好：
(g(T)=sumlimits_{d|T}frac{mu(frac{T}{d})}{2^{2^{w(d)}}})
显然有(g(p)=-frac{1}{2},g(p^k)=0(kge 2))
故当(T=sumlimits_{i=1}^{w(T)}p_i)时有(g(T)=(-frac{1}{2})^{w(T)})，否则为(0)

离线下来，对于(T)相同的一起操作
对于前(O(10^5))个质数，(sum frac{10^7}{p})是(O(3 imes 10^7))级别的，至于其他的可以看做其的无穷小